Dana jest liczba

$$a=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$$



Wykaż, że \(a\) jest liczbą całkowitą. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź:      

Udowodniono dodając do siebie ułamki i usuwając niewymierność z mianownika.

Rozwiązanie:      
Chcąc dodać do siebie jakiekolwiek ułamki zwykłe, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym konkretnym zadaniu najlepszym pomysłem byłoby zaczęcie obliczeń od usunięcia niewymierności w każdym z mianowników. W mianownikach wszystkich ułamków pojawiają nam się nie tylko same pierwiastki, ale wyrażenia z pierwiastkiem. W takich sytuacjach, chcąc usunąć niewymierność, musimy wymnożyć liczniki oraz mianowniki tych ułamków przez wyrażenie znajdujące się w mianowniku, ale ze zmienionym znakiem. Taki zabieg pozwoli nam zastosować w mianownikach wzór skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Obliczenia wyglądałyby więc następująco: $$a=\frac{1\cdot(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})\cdot(1-\sqrt{2})}+\frac{1\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})}+\frac{1\cdot(\sqrt{3}-\sqrt{4})}{(\sqrt{3}+\sqrt{4})\cdot(\sqrt{3}-\sqrt{4})}=\           ,\ =\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4}=\frac{1-\sqrt{2}}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{-1}= \           ,\ =\frac{(1-\sqrt{2})+(\sqrt{2}-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-\sqrt{4})}{-1}=\frac{1-\sqrt{4}}{-1}=\frac{1-2}{-1}=\frac{-1}{-1}=1$$ Upraszczając cały zapis otrzymaliśmy wynik równy \(1\), zatem otrzymaliśmy liczbę całkowitą, co należało udowodnić.

Teoria:      
W trakcie opracowania