Rozważmy takie liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\), które spełniają warunki: \(a\neq0\) oraz \(b\neq0\) oraz \(a\sqrt{2}+b\sqrt{3}=0\)



Oblicz wartość liczbową wyrażenia \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\) dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\), spełniających powyższe warunki. Wynik podaj w postaci ułamka bez niewymierności w mianowniku.

Odpowiedź:      

\(-\frac{5\sqrt{6}}{6}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie równań. Z treści zadania wynika, że: $$a\sqrt{2}+b\sqrt{3}=0 \           ,\ a\sqrt{2}=-b\sqrt{3}$$ Spróbujmy przekształcić to równanie, tak aby po jednej stronie mieć ułamek \(\frac{a}{b}\), zatem: $$a\sqrt{2}=-b\sqrt{3} \quad\bigg/:\sqrt{2} \           ,\ a=\frac{-b\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \quad\bigg/:b \           ,\ \frac{a}{b}=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$ I analogicznie przekształćmy to nasze początkowe równanie, ale tym razem w taki sposób, aby otrzymać ułamek \(\frac{b}{a}\), zatem: $$a\sqrt{2}=-b\sqrt{3} \quad\bigg/:a \           ,\ \sqrt{2}=\frac{-b\sqrt{3}}{a} \quad\bigg/:-\sqrt{3} \           ,\ \frac{b}{a}=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$ Znając wartości liczbowe ułamków \(\frac{a}{b}\) oraz \(\frac{b}{a}\) możemy przystąpić do obliczenia sumy: $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$ Krok 2. Obliczenie sumy podanego wyrażenia. Chcąc dodać teraz do siebie te dwa ułamki, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu licznik oraz mianownik pierwszego ułamka należałoby pomnożyć przez wartość mianownika drugiego ułamka (czyli przez \(\sqrt{3}\)) i analogicznie licznik oraz mianownik drugiego ułamka trzeba pomnożyć przez wartość mianownika pierwsze ułamka (czyli przez \(\sqrt{2}\)). Całość wyglądałaby następująco: $$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}+\frac{-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}= \           ,\ =\frac{-3}{\sqrt{6}}+\frac{-2}{\sqrt{6}}=\frac{-5}{\sqrt{6}}$$ Otrzymany wynik jest poprawny, ale zgodnie z poleceniem, musimy jeszcze usunąć niewymierność, która pojawiła się w mianowniku. W tym celu musimy licznik oraz mianownik tego ułamka pomnożyć przez \(\sqrt{6}\), otrzymując: $$\frac{-5}{\sqrt{6}}=\frac{-5\cdot\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=-\frac{5\sqrt{6}}{6}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania