Dane jest wyrażenie

$$\left(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a-b}{a^2-b^2}\right)$$



gdzie \(a\in R,\; b\in R,\; a\neq b,\; a\neq-b\)



Przekształć dane wyrażenie do najprostszej postaci i oblicz jego wartość dla \(a=\frac{2}{\sqrt{3}}\) oraz \(b=-\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Odpowiedź:      

\(\frac{2\sqrt{3}}{9}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Uproszczenie wyrażenia. Chcąc dodać lub odjąć ułamki zwykłe, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. Tutaj powinniśmy zauważyć, że w zadaniu wykorzystamy wzór skróconego mnożenia, czyli \((a^2-b^2)=(a+b)(a-b)\). Gdybyśmy więc licznik oraz mianownik pierwszego ułamka pomnożyli przez \((a-b)\), to otrzymamy taką oto sytuację: $$\left(\frac{a\cdot(a-b)}{(a+b)\cdot(a-b)}-\frac{a^2}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a-b}{a^2-b^2}\right)= \           ,\ =\left(\frac{a^2-ab}{a^2-b^2}-\frac{a^2}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a-b}{a^2-b^2}\right)= \           ,\ =\left(\frac{a^2-ab-a^2}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a-b}{a^2-b^2}\right)= \           ,\ =\left(\frac{-ab}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a-b}{a^2-b^2}\right)= \           ,\ =\left(\frac{-ab}{a^2-b^2}\right)\cdot\left(\frac{a^2-b^2}{a-b}\right)=\frac{-ab}{a-b}$$ Krok 2. Obliczenie wartości liczbowej. Mając uproszczoną postać, możemy przystąpić do podstawienia podanych liczb, czyli \(a=\frac{2}{\sqrt{3}}\) oraz \(b=-\frac{1}{\sqrt{3}}\). Otrzymamy wtedy: $$\frac{\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{\frac{2}{\sqrt{3}}-\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}= \           ,\ =\frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{\sqrt{3}}}=\frac{2}{3}:\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{9}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania