Suma \(2n\) początkowych liczb naturalnych dodatnich parzystych jest równa:

A \(S_{2n}=8n^2+4n\)
B \(S_{2n}=4n^2+2n\)
C \(S_{2n}=4n^2+n\)
D \(S_{2n}=2n^2+2n\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Zastanówmy się co tak naprawdę musimy policzyć. Musimy obliczyć sumę wyrazów, które tworzą ciąg arytmetyczny z liczb parzystych w stylu: $$2,4,6,8,...$$ O tym ciągu możemy powiedzieć, że jego pierwszym wyrazem jest na pewno \(a_{1}=2\) oraz że różnica ciągu wynosi \(r=2\). Musimy teraz obliczyć sumę tych wszystkich wyrazów, a skoro tak, to zapiszmy wzór na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego: $$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$ Rozpisując \(a_{n}\) ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) otrzymamy: $$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \           ,\ S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$ Wiemy, że mamy mieć \(2n\) wyrazów (czyli musimy pod \(n\) podstawiać \(2n\)), wiemy też że różnica ciągu arytmetycznego jest równa \(r=2\) i wiemy że \(a_{1}=2\), zatem: $$S_{2n}=\frac{2\cdot2+(2n-1)\cdot2}{2}\cdot2n \           ,\ S_{2n}=\frac{4+4n-2}{2}\cdot2n \           ,\ S_{2n}=\frac{4n+2}{2}\cdot2n \           ,\ S_{2n}=(2n+1)\cdot2n \           ,\ S_{2n}=4n^2+2n$$

Teoria:      
W trakcie opracowania