Dany jest ciąg \((a_{n})\) o wyrazie ogólnym \(a_{n}=-n^2+16\) dla \(n\ge1\). Liczba dodatnich wyrazów tego ciągu jest równa:

A \(3\)
B \(4\)
C \(5\)
D \(7\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ułożenie nierówności. Aby dowiedzieć się ile jest dodatnich wyrazów tego ciągu to musimy rozwiązać nierówność: $$-n^2+16\gt0 \quad\bigg/\cdot(-1) \           ,\ n^2-16\lt0$$ Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu. Teraz musimy obliczyć miejsca zerowe wielomianu, przyrównując wartość \(n^2-16\) do zera. Możemy to zrobić standardową deltą, ale to jest jedna z tych nierówności którą da się obliczyć niemalże w pamięci: $$n^2-16=0 \           ,\ n^2=16 \           ,\ n=4 \quad\lor\quad n=-4$$ Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli. Znając miejsca zerowe wielomianu możemy przystąpić do szkicowania wykresu paraboli. Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo przed \(n^2\) nie ma żadnej ujemnej wartości: Krok 4. Odczytanie i interpretacja rozwiązania. Szukamy argumentów, dla których nierówność przyjmuje wartości mniejsze od zera. W związku z tym: \(n\in(-4;4)\). Jak teraz zinterpretować to rozwiązanie? Z treści zadania (i ogólnie z wiedzy o ciągach) wiemy, że \(n\ge1\). Wiemy też, że \(n\) jest liczbą naturalną. W związku z tym skoro nasze \(n\) musi być większe lub równe \(1\) i jednocześnie musi się mieścić w przedziale \(n\in(-4;4)\), to mamy tylko trzy liczby które spełniają te warunki: \(n=1, n=2, n=3\). W związku z tym ten ciąg ma tylko trzy dodatnie wyrazy.

Teoria:      
W trakcie opracowania