Kąt \(α\) jest ostry i \(tgα=\frac{12}{5}\). Wówczas \(\cosα\) jest równy:

A \(\frac{5}{12}\)
B \(\frac{5}{13}\)
C \(\frac{10}{13}\)
D \(\frac{12}{13}\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa. Z trygonometrii wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Korzystając z tej własności możemy zapisać, że: $$tgα=\frac{12}{5} \           ,\ \frac{sinα}{cosα}=\frac{12}{5}$$ Mnożąc to na krzyż otrzymamy: $$5sinα=12cosα$$ Krok 2. Obliczenie wartości cosinusa. Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). Z poprzedniego kroku wyszło nam, że \(5sinα=12cosα\), czyli że \(sinα=\frac{12}{5}cosα\). W związku z tym: $$\left(\frac{12}{5}cosα\right)^2+cos^2α=1 \           ,\ \frac{144}{25}cos^2α+cos^2α=1 \           ,\ \frac{169}{25}cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{25}{169} \           ,\ cos^2α=\frac{25}{169} \           ,\ cosα=\frac{5}{13} \quad\lor\quad cosα=-\frac{5}{13}$$ Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo kąt \(α\) jest ostry, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(cosα=\frac{5}{13}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania