Równanie \(\dfrac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych:

A nie ma rozwiązania
B ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(1\)
C ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(-1\)
D ma dokładnie dwa rozwiązania: \(-1\) oraz \(1\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie założeń. Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do naszego równania. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to nasz mianownik musi być różny od zera. To oznacza, że: $$(x-1)(x+1)^2\neq0$$ Teraz zachowujemy się dokładnie tak, jak przy postaci iloczynowej, czyli moglibyśmy zapisać, że \(x-1\neq0\) oraz że \(x+1\neq0\), co prowadzi nas do wniosku, że \(x\neq1\) oraz \(x\neq-1\). Krok 2. Rozwiązanie równania. Teraz możemy przystąpić do rozwiązania naszego równania. Całość możemy standardowo rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez zawartość z mianownika. Sprawi to, że po lewej stronie zostanie nam tylko licznik, a po prawej cały czas będziemy mieć \(0\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco: $$\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0 \quad\bigg/\cdot (x-1)(x+1)^2 \           ,\ (x+1)(x-1)^2=0$$ Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, czyli: $$x+1=0 \quad\lor\quad x-1=0 \           ,\ x=-1 \quad\lor\quad x=1$$ Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami. Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. I tu się okazuje, że obydwa rozwiązania musimy odrzucić, ponieważ dla obydwu rozwiązań otrzymalibyśmy w mianowniku liczbę równą \(0\). To prowadzi nas do wniosku, że to równanie nie ma rozwiązań.

Teoria:      
W trakcie opracowania