Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\).

Odpowiedź:      

Wykazano przekształcając zapis do postaci \(4n(n+1)\).

Rozwiązanie:      
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, liczbę z treści zadania możemy rozpisać w następujący sposób: $$(2n+1)^2-1=4n^2+4n+1-1= \           ,\ =4n^2+4n=4n(n+1)$$ Nasz zapis moglibyśmy dla lepszego zobrazowania przedstawić nawet jako \(4\cdot n\cdot(n+1)\). W tym zapisie \(n\) oraz \(n+1\) to kolejne liczby naturalne, a wiemy, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest zawsze podzielny przez \(2\). Dodatkowo wyciągając czwórkę przed nawias udowodniliśmy, że liczba jest podzielna przez \(4\). Skoro liczba jest jednocześnie podzielna przez \(2\) oraz \(4\), to będzie też podzielna przez \(8\), co należało udowodnić.

Teoria:      
W trakcie opracowania