Rozwiąż nierówność: \(3x(x+1)\gt x^2+x+24\)

Odpowiedź:      

\(x\in(-\infty;-4)\cup(3;+\infty)\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej. Spróbujmy doprowadzić całość do dobrze znanej nam postaci ogólnej, dzięki czemu będziemy mogli za chwilę skorzystać z delty. Wymnażając więc to co jest po lewej stronie i przenosząc wszystkie wyrazy z prawej na lewą stronę, otrzymamy: $$3x(x+1)\gt x^2+x+24 \           ,\ 3x^2+3x\gt x^2+x+24 \           ,\ 2x^2+2x-24\gt0$$ Możemy jeszcze (choć nie musimy) podzielić wszystko przez \(2\), dzięki czemu będziemy bazować na mniejszych liczbach. Otrzymamy wtedy nierówność: $$x^2+x-12\gt0$$ Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu. Współczynniki: \(a=1,\;b=1,\;c=-12\) $$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot(-12)=1-(-48)=1+48=49 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-7}{2\cdot1}=\frac{-8}{2}=-4 \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+7}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3$$ Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli. Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni (bo \(a=1\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-4\) oraz \(x=3\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę: Krok 4. Odczytanie rozwiązania. Interesują nas wartości większe od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów: $$x\in(-\infty;-4)\cup(3;+\infty)$$

Teoria:      
W trakcie opracowania