Wykaż, że jeżeli \(α\) jest kątem ostrym i \(tgα=2\), to \(cosα\) jest liczbą niewymierną.

Odpowiedź:      

Udowodniono obliczając wartość cosinusa.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zbudowanie układu równań. Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) oraz że \(sin^2α+cos^2α=1\). Skoro tak, to spróbujmy z tych własności oraz z danych z treści zadania ułożyć następujący układ równań: $$\begin{cases} \frac{sinα}{cosα}=2 \           ,\ sin^2α+cos^2α=1 \end{cases}$$ Krok 2. Rozwiązanie układu równań. Najprościej będzie chyba wyznaczyć sinusa z pierwszego równania i podstawić go do drugiego równania, zatem: $$\begin{cases} \frac{sinα}{cosα}=2 \quad\bigg/\cdot cosα \           ,\ sin^2α+cos^2α=1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} sinα=2cosα \           ,\ sin^2α+cos^2α=1 \end{cases}$$ Podstawiając sinusa z pierwszego równania do drugiego otrzymamy: $$(2cosα)^2+cos^2α=1 \           ,\ 4cos^2α+cos^2α=1 \           ,\ 5cos^2α=1 \           ,\ cos^2α=\frac{1}{5} \           ,\ cosα=\sqrt{\frac{1}{5}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{1}{5}}$$ Ujemną wartość odrzucamy, bo mamy podaną informację że \(α\) jest kątem ostrym, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie. To oznacza, że \(cosα=\sqrt{\frac{1}{5}}\), a skoro \(\sqrt{\frac{1}{5}}\) jest liczbą niewymierną, to na tym możemy zakończyć dowodzenie.

Teoria:      
W trakcie opracowania