Kąt \(α\) jest ostry i spełnia równość \(tgα+\frac{1}{tgα}=\frac{7}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sinα\cdot\cosα\).

Odpowiedź:      

\(sinα\cdot cosα=\frac{2}{7}\)

Rozwiązanie:      
Pamiętając o tym, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy całość rozpisać w następujący sposób: $$tgα+\frac{1}{tgα}=\frac{7}{2} \           ,\ tgα+1:tgα=\frac{7}{2} \           ,\ \frac{sinα}{cosα}+1:\frac{sinα}{cosα}=\frac{7}{2} \           ,\ \frac{sinα}{cosα}+1\cdot\frac{cosα}{sinα}=\frac{7}{2} \           ,\ \frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}=\frac{7}{2}$$ Sprowadzamy teraz ułamki do wspólnego mianownika, by móc je do siebie dodać: $$\frac{sinα\cdot sinα}{cosα\cdot sinα}+\frac{cosα\cdot cosα}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \           ,\ \frac{sin^2α}{cosα\cdot sinα}+\frac{cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \           ,\ \frac{sin^2α+cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2}$$ Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem: $$\frac{1}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \           ,\ 1=\frac{7}{2}\cdot sinα\cdot cosα \quad\bigg/\cdot\frac{2}{7} \           ,\ sinα\cdot cosα=\frac{2}{7}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania