Rozwiąż równanie \(8x^3+8x^2-3x-3=0\).

Odpowiedź:      

\(x=\sqrt{\frac{3}{8}} \lor x=-\sqrt{\frac{3}{8}} \lor x=-1\) lub też \(x=\frac{\sqrt{6}}{4} \lor x=-\frac{\sqrt{6}}{4} \lor x=-1\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej. Tradycyjnie w tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(8x^2\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(-3\). To oznacza, że: $$8x^3+8x^2-3x-3=0 \           ,\ 8x^2(x+1)+(-3)(x+1) \           ,\ 8x^2(x+1)-3(x+1) \           ,\ (8x^2-3)(x+1)=0$$ Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej. Równanie mamy w postaci iloczynowej, tak więc aby całość była równa \(0\), to któraś z wartości w nawiasach musi być równa \(0\). Zatem: $$8x^2-3=0 \quad\quad\lor\quad\quad x+1=0$$ Rozwiążmy najpierw to pierwsze równanie. Możemy oczywiście tutaj zastosować metodę liczenia delty, ale możemy też zrobić to w następujący sposób: $$8x^2-3=0 \           ,\ 8x^2=3 \           ,\ x^2=\frac{3}{8} \           ,\ x=\sqrt{\frac{3}{8}} \quad\lor\quad x=-\sqrt{\frac{3}{8}}$$ Tutaj moglibyśmy się jeszcze pokusić o usunięcie niewymierności z mianownika (choć nie jest to konieczne): $$\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4\cdot2}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$$ Jeżeli więc usuniemy tę niewymierność z mianownika to otrzymamy: $$x=\frac{\sqrt{6}}{4} \quad\lor\quad x=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$ Przejdźmy do rozwiązania drugiego równania, tutaj będzie znacznie prościej: $$x+1=0 \           ,\ x=-1$$ To oznacza, że równanie ma trzy rozwiązania: \(x=\sqrt{\frac{3}{8}} \lor x=-\sqrt{\frac{3}{8}} \lor x=-1\). Ewentualnie zapisując to inaczej: \(x=\frac{\sqrt{6}}{4} \lor x=-\frac{\sqrt{6}}{4} \lor x=-1\).

Teoria:      
W trakcie opracowania