Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) o różnicy \(r\neq0\) i pierwszym wyrazie \(a_{1}=2\). Pierwszy, drugi i czwarty wyraz tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego.

Odpowiedź:      

\(q=2\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie kilku początkowych wyrazów ciagu arytmetycznego i geometrycznego. Skoro pierwszy wyraz jest równy \(2\), to nasz ciąg przy różnicy \(r\) będzie wyglądał następująco: $$2,\;2+r,\;2+2r,\;2+3r...$$ Z treści zadania wynika, że pierwszy, drugi i czwarty wyraz tego ciągu arytmetycznego tworzą ciąg geometryczny, czyli nasz ciąg geometryczny wyglądać będzie w ten sposób: $$2,\;2+r,\;2+3r$$ Krok 2. Obliczenie wartości różnicy ciągu arytmetycznego. Z własności ciągów geometrycznych wynika, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość: $${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$ Podstawiając do tego równania odpowiednie wyrazy otrzymamy: $$(2+r)^2=2\cdot(2+3r) \           ,\ 4+4r+r^2=4+6r \           ,\ r^2-2r=0 \           ,\ r(r-2)=0 \           ,\ r=0 \quad\lor\quad r-2=0 \           ,\ r=0 \quad\lor\quad r=2$$ Z założeń z treści zadania wynika, że \(r\neq0\). W związku z tym jedynym interesującym nas rozwiązaniem jest \(r=2\). Krok 3. Zapisanie wyrazów ciągu geometrycznego. Nasz ciąg geometryczny ma postać: $$2,\;2+r,\;2+3r$$ Skoro \(r=2\), to znaczy że nasz ciąg geometryczny wygląda następująco: $$2,\;4,\;8$$ Krok 4. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego. Iloraz ciągu geometrycznego obliczymy w następujący sposób: $$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \           ,\ q=\frac{4}{2} \           ,\ q=2$$

Teoria:      
W trakcie opracowania