Udowodnij, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^3+y^3 \ge x^2y+xy^2\).

Odpowiedź:      

Udowodniono wyłączając przed nawias odpowiednie i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Rozwiązanie:      
Na samym początku przenieśmy wszystkie wyrazy na lewą stronę: $$x^3+y^3\ge x^2y+xy^2 \           ,\ x^3-x^2y-xy^2+y^3\ge0$$ Teraz spróbujmy wyłączyć przed nawias odpowiednio \(x^2\) oraz \(y^2\): $$x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge0 \           ,\ (x^2-y^2)(x-y)\ge0$$ Skoro \(x\) oraz \(y\) są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to wartość w pierwszym nawiasie jest na pewno dodatnia. W drugim nawiasie niezależnie od tego czy liczba w nawiasie jest dodatnia czy ujemna, to po podniesieniu jej do potęgi drugiej wynik będzie dodatni. Mamy więc iloczyn dwóch liczb dodatnich, a ten jest na pewno większy od zera, co należało udowodnić.

Teoria:      
W trakcie opracowania