Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe. Jednym z nich jest liczba \(-3\). Wierzchołek paraboli, będącej wykresem tej funkcji, znajduje się w punkcie \((-1,-8)\). Wyznacz wzór tej funkcji.

Odpowiedź:      

\(f(x)=2x^2+4x-6\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej. Znając współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\) możemy zapisać wzór funkcji w postaci kanonicznej: $$f(x)=a(x-p)^2+q$$ W naszym przypadku \(W=(-1,-8)\) zatem: $$f(x)=a(x-(-1))^2+(-8) \           ,\ f(x)=a(x+1)^2-8$$ Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\). Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(a\). Do wyznaczenia współczynnika \(a\) wykorzystamy informację o miejscu zerowym tej funkcji. Skoro dla \(x=-3\) funkcja przyjmuje wartość równą \(0\) (bo \(x=-3\) jest miejscem zerowym), to znaczy że: $$a\cdot(-3+1)^2-8=0 \           ,\ a\cdot(-2)^2-8=0 \           ,\ 4a-8=0 \           ,\ 4a=8 \           ,\ a=2$$ Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji. W treści zadania nie mamy podanej informacji w jakiej postaci ma to być wzór. Niemalże od ręki jesteśmy w stanie podać ten wzór w postaci kanonicznej, bo przed chwilą obliczyliśmy że \(a=2\), zatem: $$f(x)=2\cdot(x+1)^2-8$$ Gdybyśmy chcieli podać ten wzór w postaci ogólnej (czyli tej najpopularniejszej), to należałoby wykonać potęgowanie: $$f(x)=2\cdot(x+1)^2-8 \           ,\ f(x)=2\cdot(x^2+2x+1)-8 \           ,\ f(x)=2x^2+4x+2-8 \           ,\ f(x)=2x^2+4x-6$$

Teoria:      
W trakcie opracowania