Przekątna \(AC\) dzieli trapez \(ABCD\) na dwa trójkąty prostokątne równoramienne oraz \(|\sphericalangle BAD|=|\sphericalangle ADC|=90°\). Najkrótszy bok trapezu ma długość \(a\). Zatem najdłuższy bok ma długość:

A \(a\sqrt{2}\)
B \(2a\)
C \(a+\sqrt{2}\)
D \(2\sqrt{a}\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
W tym zadaniu musimy pamiętać o własnościach trójkątów równoramiennych prostokątnych, czyli trójkąta o kątach \(45°,45°,90°\). W takim trójkącie przyprostokątne o długości \(a\) mają przeciwprostokątną \(\sqrt{2}\) razy większą, czyli mają przeciwprostokątną równą \(a\sqrt{2}\). To oznacza, że powstanie nam taka oto sytuacja: Spójrzmy najpierw na trójkąt \(ACD\). Jest to trójkąt równoramienny o boku \(a\), zatem przeciwprostokątna \(AC\) ma długość \(a\sqrt{2}\). Teraz spójrzmy na trójkąt \(ABC\). To także jest trójkat równoramienny, czyli skoro \(|AC|=a\sqrt{2}\) to także \(|BC|=a\sqrt{2}\). W związku z tym przeciwprostokątna \(AB\) będzie mieć długość \(a\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2a\) i to będzie najdłuższy bok tego trójkąta. To oznacza, że najdłuższy bok w tym trapezie ma długość \(2a\).

Teoria:      
W trakcie opracowania