Punkty \(A,M,B\) są współliniowe (punkt \(M\) leży między punktami \(A\) i \(B\)) i takie, że \(A=(-23,-9)\), \(B=(17,21)\) oraz \(|MB|=3|AM|\). Iloczyn współrzędnych punktu \(M\) jest równy:

A \(-18\)
B \(-14,5\)
C \(19,5\)
D \(11,5\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Spróbujmy narysować całą tę sytuację, zaznaczając przy okazji środek odcinka \(AB\): Okazuje się, że punkt M jest tak naprawdę środkiem odcinka \(AS\). Musimy zatem najpierw wyznaczyć współrzędne punktu \(S\) (który jest środkiem odcinka \(AB\)), a następnie przejdziemy do wyznaczenia współrzędnych punktu \(M\). Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(S\). Środek odcinka \(AB\) o współrzędnych \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać wzorem: $$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$ Dla przejrzystości zapisu obliczmy każdą ze współrzędnych oddzielnie: $$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \           ,\ x_{S}=\frac{-23+17}{2} \           ,\ x_{S}=\frac{-6}{2} \           ,\ x_{S}=-3 \           ,\ \quad \           ,\ y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \           ,\ y_{S}=\frac{-9+21}{2} \           ,\ y_{S}=\frac{12}{2} \           ,\ y_{S}=6$$ To oznacza, że \(S=(-3;6)\). Krok 3. Obliczenie współrzędnych punktu \(M\). Zgodnie z analizą rysunku pomocniczego, punkt \(M\) jest środkiem odcinka \(AS\), zatem korzystając z tych samych wzorów co w drugim kroku możemy zapisać, że: $$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{S}}{2} \           ,\ x_{M}=\frac{-23-3}{2} \           ,\ x_{M}=\frac{-26}{2} \           ,\ x_{M}=-13 \           ,\ \quad \           ,\ y_{M}=\frac{y_{A}+y_{S}}{2} \           ,\ y_{M}=\frac{-9+6}{2} \           ,\ y_{M}=\frac{-3}{2} \           ,\ y_{M}=-\frac{3}{2}$$ To oznacza, że \(M=\left(-13;-\frac{3}{2}\right)\). Krok 4. Obliczenie iloczynu współrzędnych punktu \(M\). Na koniec zgodnie z poleceniem musimy podać wartość iloczynu obydwu współrzędnych punktu \(M\), zatem: $$-13\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{39}{2}=19,5$$

Teoria:      
W trakcie opracowania