Dany jest półokrąg oparty na średnicy \(AB\). Punkt \(C\) leży na półokręgu, punkt \(D\) leży na średnicy, odcinki \(CD\) i \(AB\) są prostopadłe oraz \(|CD|=\sqrt{2}\). Punkt \(D\) dzieli średnicę na odcinki \(a,b\) (patrz rysunek). Wykaż, że \(ab=2\).

Odpowiedź:      

Udowodniono korzystając z podobieństwa trójkątów.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Spróbujmy narysować trójkąt, który będzie opierał się na średnicy tego półokręgu i będzie miał wierzchołek w punkcie \(C\). Z własności trójkątów wpisanych w okrąg wiemy, że taki trójkąt oparty na średnicy będzie jednocześnie trójkątem prostokątnym. Krok 2. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów i zakończenie dowodzenia. Poza tym, że mamy jeden duży trójkąt \(ABC\) to powstały nam dwa prostokątne trójkąty podobne \(ADC\) oraz \(DBC\) (cecha bok-kąt-bok). Korzystając z tego podobieństwa możemy zapisać, że: $$\frac{|CD|}{|AD|}=\frac{|BD|}{|CD|} \           ,\ \frac{\sqrt{2}}{a}=\frac{b}{\sqrt{2}}$$ Mnożąc na krzyż otrzymamy: $$ab=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} \           ,\ ab=2$$ Otrzymaliśmy dokładnie to co mieliśmy wykazać, zatem zadanie możemy uznać za zakończone.

Teoria:      
W trakcie opracowania