W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość \(a\). Kąt ostry przy tym boku ma miarę \(α\). Wykaż, że \(sinα+cosα\gt1\).

Odpowiedź:      

Udowodniono rozpisując wartości sinusa i cosinusa.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Krok 2. Rozpisanie wartości \(sinα+cosα\). Korzystając z oznaczeń na rysunku spróbujmy rozpisać sinusa i cosinusa: $$sinα+cosα=\frac{b}{c}+\frac{a}{c}=\frac{a+b}{c}$$ Krok 3. Zakończenie dowodzenia. Z własności trójkątów wiemy, że najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego jest jego przeciwprostokątna. Wiemy też, że aby trójkąt mógł w ogóle zaistnieć, to suma jego dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego boku trójkąta. To oznacza, że \(a+b\gt c\). Patrząc się na otrzymane w kroku drugim wyrażenie \(\frac{a+b}{c}\) możemy stwierdzić, że licznik tego ułamka jest na pewno większy od mianownika, a skoro tak, to wartość tego ułamka musi być większa od \(1\), co należało udowodnić.

Teoria:      
W trakcie opracowania