Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny \(ABC\) jest styczny do przeciwprostokątnej \(AB\) w punkcie \(K\). Wiadomo, że \(|AK|=4\) i \(|KB|=6\). Oblicz promień tego okręgu.

Odpowiedź:      

\(r=2\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Korzystając z informacji z treści zadania oraz z własności stycznych do okręgu możemy sporządzić następujący szkic: Krok 2. Ułożenie równania. Skoro jest to trójkąt prostokątny, to możemy zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa zapisać, że: $$(r+4)^2+(r+6)^2=10^2 \           ,\ r^2+8r+16+r^2+12r+36=100 \           ,\ 2r^2+20r+52=100 \           ,\ 2r^2+20r-48=0 \quad\bigg/:2 \           ,\ r^2+10r-24=0$$ Dzielenie przez \(2\) nie jest koniecznością, ale dzięki temu potem pracujemy na mniejszych liczbach. Finalnie wynik wyjdzie ten sam. Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Współczynniki: \(a=1,\;b=10,\;c=-24\) $$Δ=b^2-4ac=10^2-4\cdot1\cdot(-24)=100-(-96)=100+96=196 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{196}=14$$ $$r_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-10-14}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \           ,\ r_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-10+14}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$ Promień nie może być ujemny, zatem jedynym pasującym nam rozwiązaniem jest \(r=2\).

Teoria:      
W trakcie opracowania