Rozwiąż równanie \(\frac{x(x+1)}{x-1}=5x-4\), dla \(x\neq1\).

Odpowiedź:      

\(x=\frac{1}{2}\) oraz \(x=2\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Rozwiązanie równania. Rozwiązanie tego równania najlepiej jest rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez \((x-1)\). Możemy to zrobić, bo wiemy że \(x\neq1\), zatem: $$\frac{x(x+1)}{x-1}=5x-4 \quad\bigg/\cdot(x-1) \           ,\ x(x+1)=(5x-4)\cdot(x-1) \           ,\ x^2+x=5x^2-5x-4x+4 \           ,\ 4x^2-10x+4=0 \quad\bigg/:2 \           ,\ 2x^2-5x+2=0$$ W ostatnim kroku zostało wykonane dzielenie przez \(2\), tak aby uprościć zapis i by wykonywać działania na mniejszych liczbach. Nie jest to działanie niezbędne do otrzymania prawidłowego wyniku. Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Współczynniki: \(a=2,\;b=-5,\;c=2\) $$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-3}{2\cdot2}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+3}{2\cdot2}=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2$$ Żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami, zatem to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=\frac{1}{2}\) oraz \(x=2\).

Teoria:      
W trakcie opracowania