W dziewięciowyrazowym ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich pierwszy wyraz jest równy \(3\), a ostatni wyraz jest równy \(12\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy:

A \(3\sqrt[4]{2}\)
B \(6\)
C \(7\frac{1}{2}\)
D \(8\frac{1}{7}\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania. $$a_{1}=3 \           ,\ a_{9}=12 \           ,\ a_{5}=?$$ Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego możemy rozpisać czym jest piąty i dziewiąty wyraz tego ciągu: $$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \           ,\ a_{5}=a_{1}\cdot q^{4} \           ,\ a_{9}=a_{1}\cdot q^{8}$$ Krok 2. Obliczenie wartości \(q^4\). Do wyznaczenia wartości piątego wyrazu brakuje nam znajomości wartości \(q^4\) (lub też samego \(q\), gdyby była taka możliwość). Spróbujmy wyznaczyć to brakujące \(q^4\) z wartości dziewiątego wyrazu, którą przecież znamy: $$a_{9}=a_{1}\cdot q^{8} \           ,\ 12=3\cdot q^{8} \quad\bigg/:3 \           ,\ 4=q^8 \quad\bigg/\sqrt{} \           ,\ q^4=2 \quad\lor\quad q^4=-2$$ Skoro wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie, to \(q^4=2\) (odrzucamy więc ujemne rozwiązanie). Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu. Znając wartość \(a^4=2\) bez problemu obliczymy już wartość piątego wyrazu: $$a_{5}=a_{1}\cdot q^{4} \           ,\ a_{5}=3\cdot2 \           ,\ a_{5}=6$$

Teoria:      
W trakcie opracowania