Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=(n+3)(n-5)\) dla \(n\ge 1\). Liczba ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa:

A \(3\)
B \(4\)
C \(7\)
D \(9\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie nierówności kwadratowej. Chcąc sprawdzić dla jakich wartości \(n\) ciąg przyjmuje wartości ujemne musimy rozwiązać następującą nierówność kwadratową: $$(n+3)(n-5)\lt0$$ Ta nierówność jest zapisana w postaci iloczynowej, zatem w bardzo łatwy sposób wyznaczymy jej miejsca zerowe - wystarczy przyrównać wartość każdego z nawiasów do zera: $$n+3=0 \quad\lor\quad n-5=0 \           ,\ n=-3 \quad\lor\quad n=5$$ Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli. Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo przed przed \(n\) nie stoi żaden znak minusa. Zaznaczamy wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i szkicujemy wykres paraboli. Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności i interpretacja otrzymanego wyniku. Interesują nas wartości ujemne, czyli znajdujące się pod osią, a więc rozwiązaniem naszej nierówności jest przedział \(x\in(-3;5)\). Teraz musimy się zastanowić co ten wynik oznacza i jaka jest odpowiedź na nasze zadanie, bowiem pytają nas o to ile jest wyrazów ujemnych w tym ciągu. Musimy więc w otrzymanym rozwiązaniu uwzględnić jeszcze założenie wynikające z własności ciągów, czyli że \(n\) jest liczbą naturalną dodatnią. W związku z tym rozwiązaniami które nas interesują są jedynie: $$x\in\{1,2,3,4\}$$ (Piątki nie uwzględniamy, bo nawias nie był domknięty). To oznacza, że są tylko cztery wyrazy tego ciągu, które przyjmują ujemną wartość.

Teoria:      
W trakcie opracowania