Punkty \(A=(-6;5), B=(5;7), C=(10;-3)\) są wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Długość przekątnej \(BD\) tego równoległoboku jest równa:

A \(3\sqrt{5}\)
B \(4\sqrt{5}\)
C \(6\sqrt{5}\)
D \(8\sqrt{5}\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Teoretycznie moglibyśmy próbować po kratkach określić współrzędne punktu \(D\), tak aby potem obliczyć długość przekątnej \(BD\), ale jest spora rozpiętość między punktami, więc łatwo tutaj o pomyłkę. Zróbmy więc to zadanie w sposób bardziej uniwersalny, zaczynając od prostego szkicu całej sytuacji: Krok 2. Obliczenie współrzędnych miejsca przecięcia się przekątnych równoległoboku. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości. Skoro tak, to znając współrzędne wierzchołków \(A\) oraz \(C\), możemy obliczyć środek tego odcinka, czyli jednocześnie miejsce przecięcia się tych przekątnych. Wykorzystamy w tym celu wzór na środek odcinka w układzie współrzędnych: $$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right) \           ,\ S=\left(\frac{-6+10}{2};\frac{5+(-3)}{2}\right) \           ,\ S=\left(\frac{4}{2};\frac{2}{2}\right) \           ,\ S=(2;1)$$ Krok 3. Obliczenie długości odcinka BS (połowa przekątnej). Odcinek \(BS\) to odcinek od wierzchołka równoległoboku do miejsca przecięcia się przekątnych. Korzystając ze wzoru na długość odcinka, możemy zapisać, że: $$|BS|=\sqrt{(x_{S}-x_{B})^2+(y_{S}-y_{B})^2} \           ,\ |BS|=\sqrt{(2-5)^2+(1-7)^2} \           ,\ |BS|=\sqrt{(-3)^2+(-6)^2} \           ,\ |BS|=\sqrt{9+36} \           ,\ |BS|=\sqrt{45} \           ,\ |BS|=3\sqrt{5}$$ Krok 4. Obliczenie długości przekątnej \(BD\). Skoro przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, to przekątna \(BD\) będzie dwa razy większa od odcinka \(BS\), zatem: $$|BD|=2\cdot3\sqrt{5} \           ,\ |BD|=6\sqrt{5}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania