Pole prostokąta jest równe \(16\), a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym \(\alpha\), takim, że \(sin\alpha=0,2\). Długość przekątnej tego prostokąta jest równa:

A \(4\sqrt{5}\)
B \(4\sqrt{10}\)
C \(80\)
D \(160\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
W tym zadaniu możemy skorzystać z nietypowego wzoru na pole równoległoboku (czyli także prostokąta), który znajduje się w tablicach maturalnych: $$P=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD|\cdot sin\gamma$$ gdzie \(AC\) oraz \(BD\) to przekątne prostokąta, a \(\gamma\) to kąt ostry między tymi przekątnymi. W przypadku prostokąta przekątne mają jednakową długość (nazwijmy ją \(d\)), a kąt w treści zadania jest oznaczony jako \(\alpha\), więc moglibyśmy zapisać, że: $$P=\frac{1}{2}\cdot d\cdot d\cdot sin\alpha$$ Podstawiając teraz dane z treści zadania, otrzymamy: $$16=\frac{1}{2}\cdot d\cdot d\cdot0,2 \           ,\ 16=0,1\cdot d^2 \           ,\ d^2=160 \           ,\ d=\sqrt{160} \quad\lor\quad d=-\sqrt{160}$$ Długość przekątnej musi być dodatnia, więc zostaje nam \(d=\sqrt{160}\). Takiej odpowiedzi nie mamy w proponowanych, a to dlatego, że z tego pierwiastka da się jeszcze wyłączyć całość: $$d=\sqrt{160}=\sqrt{16\cdot10}=4\sqrt{10}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania