Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej \(n\) liczba \(4^{n+1}-3^{n+2}+4^{n}-3^{n}\) jest podzielna przez \(5\).

Odpowiedź:      

Wykazano wyłączając odpowiednie liczby przed nawias.

Rozwiązanie:      
Aby udowodnić, że ta liczba jest podzielna przez \(5\), musimy cały zapis do postaci w której będziemy mieć \(5\) pomnożone przez jakąś liczbę całkowitą. W tym celu trzeba przekształcić zapis wyłączając wspólne czynniki przed nawias np. w taki oto sposób: $$4^{n+1}-3^{n+2}+4^{n}-3^{n}= \           ,\ =4^{n}\cdot(4^1+1)-3^{n}\cdot(3^2+1)= \           ,\ =4^{n}\cdot5-3^{n}\cdot10= \           ,\ =5\cdot(4^{n}-3^{n}\cdot2)$$ Wiedząc, że \(n\) jest liczbą naturalną możemy być pewni, że zapis \(4^{n}-3^{n}\cdot2\) jest liczbą całkowitą. To oznacza, że podana liczba dzieli się przez \(5\), a wynikiem tego dzielenia będzie to, co znalazło się w nawiasie, czyli \(4^{n}-3^{n}\cdot2\).

Teoria:      
W trakcie opracowania