Pole rombu o obwodzie \(20\) i kącie rozwartym \(120°\) jest równe:

A \(\frac{25\sqrt{3}}{2}\)
B \(\frac{5\sqrt{3}}{2}\)
C \(\frac{25}{2}\)
D \(\frac{25\sqrt{3}}{4}\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie długości boku rombu. Romb ma cztery boki o jednakowej długości, zatem skoro jego obwód jest równy \(20\), to: $$a=20:4 \           ,\ a=5$$ Krok 2. Obliczenie wartości \(sin120°\). W zadaniu będziemy chcieli skorzystać ze wzoru: $$P=a^2\cdot sin\alpha$$ Po podstawieniu znanych danych wyjdzie nam, że: $$P=5^2\cdot sin120°$$ Musimy więc ustalić jaką wartość przyjmuje \(sin120°\), a tej niestety nie ma w tablicach trygonometrycznych. Aby wyznaczyć wartość kąta rozwartego musimy posłużyć się wzorami redukcyjnymi. Wynika z nich, że: $$sin(90°+α)=cosα$$ Jeśli podstawimy \(α=30°\), to otrzymamy: $$sin(90°+30°)=cos30° \           ,\ sin120°=cos30°$$ Wyszło nam więc, że \(sin120°\) jest równy tyle samo co \(cos30°\). Z tablic odczytujemy, że \(cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\), zatem \(sin120°=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Krok 3. Obliczenie pola rombu. Wracając do obliczenia pola powierzchni rombu, możemy zapisać, że: $$P=5^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \           ,\ P=25\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{2}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania