Rozwiąż równanie

$$-x^3+13x-12=0$$

Odpowiedź:      

\(x=1 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-4\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie równania w postaci iloczynowej. Najprościej byłoby zauważyć, że liczba \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu, ponieważ \(W(1)=0\). $$W(1)=-1^3+13\cdot1-12 \           ,\ W(1)=-1+13-12 \           ,\ W(1)=0$$ Skoro tak, to możemy podzielić wielomian \(W(x)=-x^3+13x-12\) przez \(x-1\). Jak wykonać takie dzielenie? Możemy to zrobić za pomocą dzielenia pisemnego, albo też korzystając z tak zwanego schematu Hornera. Ta druga metoda wydaje się nieco szybsza, więc to właśnie ją zastosujemy. W tym celu musimy zbudować następującą tabelkę: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \; & -1 & 0 & 13 & -12 \           ,\ \hline 1 & -1 & \; & \; & \; \           ,\ \hline \end{array}$$ Liczby w górnym wierszu to współczynniki wielomianu \(-x^3+13x-12\) (zwróć uwagę, że nie mamy tutaj \(x^2\), stąd też w tym miejscu w tabelce pojawiło się \(0\)). W lewym dolnym rogu mamy \(1\), bo właśnie jedynka jest jednym z pierwiastków tego wielomianu, a liczbę \(-1\) przepisaliśmy z górnego wiersza. Teraz musimy uzupełnić dolny wiersz tabeli, wykonując następujące działania: \(1\cdot(-1)+0=-1+0=-3 \Rightarrow\) Pod liczbą \(0\) wpisujemy \(-1\) \(1\cdot(-1)+13=-1+13=12 \Rightarrow\) Pod liczbą \(13\) wpisujemy \(12\) \(1\cdot12+(-12)=12-12=0 \Rightarrow\) Pod liczbą \(-12\) wpisujemy \(0\) Tabelka wygląda więc następująco: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \; & -1 & 0 & 13 & -12 \           ,\ \hline 1 & -1 & -1 & 12 & 0 \           ,\ \hline \end{array}$$ To oznacza, że wynikiem dzielenia wielomianu \(-x^3+13x-12\) przez dwumian \(x-1\) jest \(-x^2-x+12\). W takim razie możemy stwierdzić, że równanie z treści zadania da się zapisać w postaci: $$(x-1)(-x^2-x+12)=0$$ Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania. Najtrudniejsze już za nami, teraz musimy rozwiązać powstałe równanie w postaci iloczynowej. W tym celu wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera, zatem: $$x-1=0 \quad\lor\quad -x^2-x+12=0$$ Z pierwszego równania otrzymamy rozwiązanie \(x=1\). Musimy jeszcze rozwiązać to drugie równanie, które jest równaniem kwadratowym zapisanym w postaci ogólnej. W takiej sytuacji skorzystamy oczywiście z niezawodnej delty: Współczynniki: \(a=-1,\;b=-1,\;c=12\) $$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot(-1)\cdot12=1-(-48)=1+48=49 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-7}{2\cdot(-1)}=\frac{-6}{-2}=3 \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+7}{2\cdot(-1)}=\frac{8}{-2}=-4$$ To oznacza, że będziemy mieć trzy rozwiązania tego równania: $$x=1 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-4$$

Teoria:      
W trakcie opracowania