Z punktu \(P\) poprowadzono dwie styczne do okręgu w punktach \(A\) i \(B\) (zobacz rysunek). Promień okręgu ma długość \(5\), a odległość punktu \(P\) od środka \(S\) tego okręgu jest równa \(13\). Ile wynosi pole deltoidu \(PBSA\)?

A \(30\)
B \(60\)
C \(64\)
D \(65\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(PA\). Styczna do okręgu tworzy z promieniem zawsze kąt prosty, a to oznacza, że trójkąt \(PSA\) jest prostokątny. Znamy dwie długości w tym trójkącie, a mianowicie \(|AS|=5\) oraz \(|PS|=13\). Możemy więc wyznaczyć długość odcinka \(PA\) za pomocą Twierdzenia Pitagorasa: $$5^2+|PA|^2=13^2 \           ,\ 25+|PA|^2=169 \           ,\ |PA|^2=144 \           ,\ |PA|=12 \quad\lor\quad |PA|=-12$$ Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|PA|=12\). Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(PSA\). Trójkąt \(PSA\) jest połową naszego deltoidu. Jeżeli więc poznamy pole tego trójkąta, to za chwilę bez problemu obliczymy pole deltoidu. Znamy długości dwóch przyprostokątnych w tym trójkącie, zatem znamy miary podstawy i wysokości, czyli: $$P_{PSA}=\frac{1}{2}ah \           ,\ P_{PSA}=\frac{1}{2}\cdot5\cdot12 \           ,\ P_{PSA}=30$$ Krok 3. Obliczenie pola deltoidu \(PBSA\). Pole deltoidu będzie dwukrotnie większe od wyznaczonego przed chwilą pola trójkąta \(PSA\), zatem: $$P=2\cdot P_{PSA} \           ,\ P=2\cdot30 \           ,\ P=60$$

Teoria:      
W trakcie opracowania