W walec o przekroju będącym kwadratem wpisano kulę. Jaki jest stosunek pola powierzchni kuli do pola powierzchni całkowitej walca?

A \(\frac{1}{2}\)
B \(\frac{2}{3}\)
C \(1\)
D \(2\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Omawiana w treści zadania sytuacja będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób: Krok 2. Obliczenie pól powierzchni kuli i walca. Pola powierzchni kuli i walca obliczymy z następujących wzorów: $$P_{k}=4\pi r^2 \           ,\ P_{w}=2\pi r(r+h)$$ Z rysunku wynika, że \(r=\frac{1}{2}a\) oraz że \(h=a\). Podstawiając zatem te dane do powyższych wzorów otrzymamy: $$P_{k}=4\pi\cdot\left(\frac{1}{2}a\right)^2 \           ,\ P_{k}=4\pi\cdot\frac{1}{4}a^2 \           ,\ P_{k}=a^2\pi \           ,\ \text{oraz} \           ,\ P_{w}=2\pi\cdot\frac{1}{2}a\cdot\left(\frac{1}{2}a+a\right) \           ,\ P_{w}=2\pi\cdot\frac{1}{4}a^2+2\pi\frac{1}{2}a^2 \           ,\ P_{w}=\frac{1}{2}a^2\pi+a^2\pi \           ,\ P_{w}=\frac{3}{2}a^2\pi$$ Krok 3. Obliczenie stosunku pól powierzchni kuli i walca. Naszym zadaniem jest obliczyć stosunek pola powierzchni kuli do pola powierzchni całkowitej walca, zatem: $$\frac{P_{k}}{P_{w}}=\frac{a^2\pi}{\frac{3}{2}a^2\pi} \           ,\ \frac{P_{k}}{P_{w}}=\frac{1}{\frac{3}{2}} \           ,\ \frac{P_{k}}{P_{w}}=1:\frac{3}{2} \           ,\ \frac{P_{k}}{P_{w}}=1\cdot\frac{2}{3} \           ,\ \frac{P_{k}}{P_{w}}=\frac{2}{3}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania