Czwarty wyraz ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich stanowi \(0,64\) drugiego wyrazu tego ciągu. Wskaż iloraz tego ciągu.

A \(\frac{3}{5}\)
B \(\frac{5}{3}\)
C \(\frac{4}{5}\)
D \(\frac{5}{4}\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania. Oznaczmy sobie drugi wyraz jako \(x\) oraz czwarty wyraz jako \(0,64x\), czyli: $$a_{2}=x \           ,\ a_{4}=0,64x$$ Krok 2. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego. Jak pomnożymy drugi wyraz ciągu przez \(q\) to otrzymamy trzeci wyraz, a jak jeszcze raz pomnożymy to przez \(q\) to otrzymamy wartość czwartego wyrazu, czyli zachodzi następująca równość: $$a_{4}=a_{2}\cdot q\cdot q \           ,\ a_{4}=a_{2}\cdot q^2$$ Podstawiając \(a_{2}=x\) oraz \(a_{4}=0,64x\) otrzymamy: $$0,64x=x\cdot q^2 \           ,\ q^2=0,64 \           ,\ q=0,8 \quad\lor\quad q=-0,8$$ Skoro wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie to na pewno \(q\) nie może być ujemne. Zostaje nam więc jedynie \(q=0,8\), czyli \(q=\frac{4}{5}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania