Wskaż wzór funkcji kwadratowej \(f\), której najmniejsza wartość jest równa \(2\).

A \(f(x)=-(x-2)^2+2\)
B \(f(x)=(x+2)^2-2\)
C \(f(x)=2(x-1)^2+2\)
D \(f(x)=-2(x-2)^2-2\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Odczytanie kluczowych informacji na temat wierzchołka paraboli. Wszystkie funkcje zapisane są w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka \(W=(p;q)\). W tym zadaniu musimy pamiętać, że funkcja kwadratowa przyjmuje swoją największą lub najmniejszą wartość właśnie w wierzchołku, zatem interesują nas tylko te wzory funkcji w których \(q=2\). Takie funkcje mamy w pierwszej oraz trzeciej odpowiedzi. Oczywiście z podanych wzorów moglibyśmy odczytać także współrzędne \(p\) wierzchołków paraboli, ale one nie są istotne z punktu widzenia tego zadania. Krok 2. Ustalenie wzoru funkcji. Do wyboru zostały nam już tylko dwie funkcje. Musimy się teraz zastanowić czym się one między sobą różnią. To co różni funkcję \(f(x)=-(x-2)^2+2\) od \(f(x)=2(x-1)^2+2\) to przede wszystkim wartość współczynnika \(a\). W pierwszej funkcji mamy ten współczynnik ujemny \(a=-1\), natomiast w tej drugiej współczynnik \(a\) jest dodatni, bo \(a=2\). To oznacza, że pierwsza z nich będzie miała ramiona paraboli skierowane do dołu, a druga będzie miała ramiona skierowane do góry: Widzimy więc wyraźnie, że funkcja \(f(x)=-(x-2)^2+2\) przyjmuje najmniejszą wartość równą \(-\infty\), a największa wartość jest tutaj równa \(2\). W funkcji \(f(x)=2(x-1)^2+2\) najmniejszą wartością jest \(2\), a największą jest tutaj \(+\infty\). Nas interesuje ten drugi przypadek, zatem poszukiwanym wzorem będzie \(f(x)=2(x-1)^2+2\).

Teoria:      
W trakcie opracowania