Dane są cztery ciągi określone wzorami ogólnymi dla \(n\ge1\). Który z nich jest ciągiem arytmetycznym?

A \(a_{n}=2n\)
B \(a_{n}=n^2\)
C \(a_{n}=2^{n}\)
D \(a_{n}=\frac{2}{n}\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Już po samym zapisie wzoru powinniśmy dostrzec, że ciągiem arytmetycznym jest ciąg \(a_{n}=2n\), a różnica tego ciągu jest równa \(2\) o czym świadczy dwójka znajdująca się przed \(n\). Gdyby ktoś jednak nie pamiętał o tej własności, to zawsze można obliczyć np. trzy pierwsze wyrazy danego ciągu i sprawdzić, czy różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest taka sama jak między wyrazem drugim i trzecim: Dla ciągu \(a_{n}=2n\): $$a_{1}=2\cdot1=2 \           ,\ a_{2}=2\cdot2=4 \           ,\ a_{3}=2\cdot3=6$$ Widzimy wyraźnie, że różnica tego ciągu jest równa \(2\). Dla ciągu \(a_{n}=n^2\): $$a_{1}=1^2=1 \           ,\ a_{2}=2^2=4 \           ,\ a_{3}=3^2=9$$ Tutaj różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest równa \(3\), a między drugim i trzecim jest równa \(5\). Nie jest to więc ciąg arytmetyczny. Dla ciągu \(a_{n}=2^{n}\): $$a_{1}=2^1=2 \           ,\ a_{2}=2^2=4 \           ,\ a_{3}=2^3=8$$ Tutaj różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest równa \(2\), a między drugim i trzecim jest równa \(4\). Nie jest to więc ciąg arytmetyczny. Dla ciągu \(a_{n}=\frac{2}{n}\): $$a_{1}=\frac{2}{1}=2 \           ,\ a_{2}=\frac{2}{2}=1 \           ,\ a_{3}=\frac{2}{3}$$ Tutaj różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest równa \(-1\), a między drugim i trzecim jest równa \(-\frac{1}{3}\). Nie jest to więc ciąg arytmetyczny.

Teoria:      
W trakcie opracowania