Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a przeciwprostokątna \(AB\) ma długość \(3\sqrt{5}\). Wtedy tangens kąta ostrego \(CAB\) tego trójkąta jest równy:

A \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
B \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
C \(\frac{1}{2}\)
D \(2\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Nanosząc na trójkąt długości boków z treści zadania (musimy przy okazji uważać na oznaczenia, tak aby przeciwprostokątną był bok \(AB\)), otrzymamy taką oto sytuację: Krok 2. Obliczenie długości przyprostokątnej \(BC\). Znamy długości dwóch boków trójkąta prostokątnego, więc obliczymy brakującą długość przyprostokątnej korzystając z Twierdzenia Pitagorasa: $$|AC|^2+6^2=(3\sqrt{5})^2 \           ,\ |AC|^2+36=9\cdot5 \           ,\ |AC|^2+36=45 \           ,\ |AC|^2=9 \           ,\ |AC|=3 \quad\lor\quad |AC|=-3$$ Ujemną długość oczywiście odrzucamy, więc zostaje nam \(|AC|=3\). Krok 3. Obliczenie tangensa kąta \(CAB\). Tangens to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko danego kąta, względem przyprostokątnej leżącej przy tym kącie. W naszym przypadku oznacza to, że: $$tg\alpha=\frac{|BC|}{|AC|} \           ,\ tg\alpha=\frac{3}{6} \           ,\ tg\alpha=\frac{1}{2}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania