Dana jest funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=-2(x-2)(x+1)\). Funkcja \(f\) jest rosnąca w zbiorze:

A \((-\infty; \frac{1}{2}\rangle\)
B \((-1;2)\)
C \((0;\frac{5}{2})\)
D \(\langle\frac{5}{2};+\infty)\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji. Funkcja jest zapisana w postaci iloczynowej, więc wyznaczenie miejsc zerowych będzie bardzo proste, ponieważ wystarczy sprawdzić, kiedy \(-2(x-2)(x+1)=0\). Musimy więc rozwiązać równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, a dokonamy tego przyrównując wartości w nawiasach do zera. Zatem: $$x-2=0 \quad\lor\quad x+1=0 \           ,\ x=2 \quad\lor\quad x=-1$$ Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli. Podana funkcja ma ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik \(a=-2\). To oznacza, że funkcja będzie rosnąć od minus nieskończoności aż do wierzchołka, co dobrze wyjaśni poniższy rysunek: Musimy zatem wyznaczyć współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli, a w tym celu posłużymy się jedną z własności parabol - wierzchołek znajduje się dokładnie między miejscami zerowymi, zatem: $$p=\frac{2+(-1)}{2} \           ,\ p=\frac{1}{2}$$ To oznacza, że funkcja jest rosnąca w zbiorze \((-\infty; \frac{1}{2}\rangle\).

Teoria:      
W trakcie opracowania