Ile wyrazów ujemnych ma ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=2n^2-9\) dla \(n\ge1\)?

A \(0\)
B \(1\)
C \(2\)
D \(3\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Sposób I - obliczenie wartości kilku początkowych wyrazów: W przypadku tego zadania najprościej jest wyznaczyć sobie wartości kilku pierwszych wyrazów i sprawdzić ile z nich będzie ujemnych. Po odpowiedziach widzimy, że dużo liczenia nas nie czeka, bo będą to maksymalnie trzy wyrazy. Zatem: $$a_{1}=2\cdot1^2-9=2\cdot1-9=2-9=-7 \           ,\ a_{2}=2\cdot2^2-9=2\cdot4-9=8-9=-1 \           ,\ a_{3}=2\cdot3^2-9=2\cdot9-9=18-9=9$$ Widzimy, że tylko dwa pierwsze wyrazy są ujemne, zatem prawidłowa jest odpowiedź \(C\). Sposób II - obliczenie za pomocą ułożonej nierówności: Powyższy sposób nie sprawdziłby się nam w zadaniach z trudniejszymi liczbami albo w zadaniach otwartych. Spróbujmy więc dojść do rozwiązania w nieco bardziej matematyczny sposób. Szukamy wyrazów ujemnych, zatem: $$2n^2-9\lt0 \           ,\ 2n^2\lt9 \           ,\ n^2\lt4,5$$ Teraz musimy się zastanowić jakie liczby naturalne podniesione do kwadratu dadzą wynik mniejszy niż \(4,5\) (interesują nas tylko liczby naturalne, bo w ciągach \(n\in N\)). Na pewno takimi liczbami będą \(1\) oraz \(2\) i to są jedyne dwie możliwości. Zatem to oznacza, że w naszym ciągu znajdą się tylko dwa wyrazy ujemne.

Teoria:      
W trakcie opracowania