Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu \((4, 6, 9,...)\) można obliczyć ze wzoru:

A \(n(n+3)\)
B \(\frac{3n+5}{2}\cdot n\)
C \(8\left[\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right]\)
D \(2\left[\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right]\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ustalenie jaki jest to ciąg. Musimy na początku ustalić jaki jest to ciąg i jakie są jego kluczowe parametry. Na pewno nie jest to ciąg arytmetyczny, bo drugi wyraz jest o \(2\) większy od pierwszego, a trzeci wyraz jest o \(3\) większy od drugiego. Powinniśmy dostrzec, że nasz ciąg jest geometryczny, bo każdy wyraz jest \(1,5\) razy większy od poprzedniego. Iloraz ciągu możemy nawet obliczyć w następujący sposób: $$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \           ,\ q=\frac{6}{4} \           ,\ q=\frac{3}{2}$$ Możemy więc powiedzieć, że nasz ciąg jest geometryczny, a kluczowymi liczbami dla tego ciągu będą \(q=\frac{3}{2}\) oraz \(a_{1}=4\). Krok 2. Obliczenie sumy \(n\) początkowych wyrazów. Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów i podstawiając dane, które przed chwilą sobie wyznaczyliśmy otrzymamy: $$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \           ,\ S_{n}=4\cdot\frac{1-\left(\frac{3}{2}\right)^n}{1-\frac{3}{2}} \           ,\ S_{n}=4\cdot\frac{1-\left(\frac{3}{2}\right)^n}{-\frac{1}{2}} \           ,\ S_{n}=4\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right):\left(-\frac{1}{2}\right) \           ,\ S_{n}=4\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right)\cdot(-2) \           ,\ S_{n}=-8\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right)$$ Musimy się jeszcze dopasować do proponowanych odpowiedzi i aby lepiej zrozumieć to przekształcenie to możemy zamienić \(-8\) na \(8\cdot(-1)\), otrzymując: $$S_{n}=8\cdot(-1)\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right) \           ,\ S_{n}=8\cdot\left(-1+\left(\frac{3}{2}\right)^n\right) \           ,\ S_{n}=8\cdot\left(\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right)$$

Teoria:      
W trakcie opracowania