Zbiorem wartości funkcji \(f(x)=-(x+7)(x-3)\) jest:

A \((-\infty ;25\rangle\)
B \((-\infty ;-2\rangle\)
C \(\langle 25;+\infty)\)
D \((-\infty ;2\frac{1}{2}\rangle\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Wykresem naszej funkcji kwadratowej będzie parabola o ramionach skierowanych do dołu, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny (mamy minus przed postacią iloczynową). To oznacza, że nasza funkcja będzie mieć mniej więcej taki oto wygląd: Możemy więc już wywnioskować, że zbiorem wartości będzie przedział od \(-\infty\) aż do wartości w wierzchołku paraboli. Współrzędne wierzchołka możemy zapisać jako \(W=(p;q)\). Szukamy wartości przyjmowanej w tym wierzchołku, czyli szukamy współrzędnej \(q\) (gdybyśmy szukali odpowiedzi na pytanie dla jakiego argumentu ta wartość jest przyjmowana, to wtedy szukalibyśmy współrzędnej \(p\)). I teraz możemy dojść do tej współrzędnej \(q\) na dwa sposoby: I sposób - wyznaczając wartość współrzędnej \(p\) i podstawiając ją do wzoru funkcji: Z postaci iloczynowej możemy odczytać, że miejscami zerowymi naszej funkcji są \(-7\) oraz \(3\). Współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli będzie dokładnie pomiędzy tymi dwoma miejscami zerowymi (to wynika z własności wierzchołka), zatem moglibyśmy zapisać, że: $$p=\frac{-7+3}{2} \           ,\ p=\frac{-4}{2} \           ,\ p=-2$$ Teraz znając wartość \(p=-2\) możemy podstawić \(x=-2\) do wzoru funkcji, dzięki czemu otrzymamy wartość funkcji przyjmowaną w wierzchołku. Zatem: $$f(-2)=-(-2+7)(-2-3) \           ,\ f(-2)=-(5)(-5) \           ,\ f(-2)=25$$ To oznacza, że wartość przyjmowana w wierzchołku paraboli jest równa \(25\), czyli zbiorem wartości funkcji będzie \((-\infty ;25\rangle\). II sposób - obliczając wartość \(q\) ze wzoru z tablic: W tej metodzie skorzystamy ze wzoru: $$q=\frac{-Δ}{4a}$$ Aby jednak móc skorzystać z tego wzoru musimy najpierw doprowadzić równanie do postaci ogólnej, a następnie musimy policzyć tak zwaną deltę. Krok 1. Zapisanie równania w postaci ogólnej. Aby móc obliczyć wartość \(q\) musimy najpierw doprowadzić równanie do postaci ogólnej, zatem: $$-(x+7)(x-3)=-(x^2-3x+7x-21)= \           ,\ =-(x^2+4x-21)=-x^2-4x+21$$ Krok 2. Obliczenie delty. Mając postać ogólną możemy już policzyć deltę, która znalazła się w liczniku wzoru na \(q\), zatem: Współczynniki: \(a=-1,\;b=-4,\;c=21\) $$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-1)\cdot21=16-(-84)=16+84=100$$ Krok 3. Wyznaczenie wartości współrzędnej \(q\). Znając deltę możemy zapisać, że: $$q=\frac{-Δ}{4a} \           ,\ q=\frac{-100}{4\cdot(-1)} \           ,\ q=\frac{-100}{-4} \           ,\ q=25$$ To oznacza, że zbiorem wartości tej funkcji będzie przedział \((-\infty ;25\rangle\).

Teoria:      
W trakcie opracowania