Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=4(n+1)(n-10)\) dla \(n\ge1\). Ile wyrazów ujemnych ma ten ciąg?

A \(9\)
B \(10\)
C \(11\)
D \(12\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Aby dowiedzieć się ile wyrazów ujemnych ma wskazany ciąg musimy rozwiązać następującą nierówność: $$4(n+1)(n-10)\lt0 \quad\bigg/:4 \           ,\ (n+1)(n-10)\lt0$$ Krok 2. Rozwiązanie powstałej nierówności kwadratowej. Otrzymaliśmy nierówność kwadratową zapisaną w postaci iloczynowej. Rozwiązywanie nierówności rozpoczynamy od wyznaczenia miejsc zerowych, czyli sprawdzenia kiedy \((n+1)(n-10)=0\). Zgodnie z własnościami postaci iloczynowej możemy zapisać, że: $$n+1=0 \quad\lor\quad n-10=0 \           ,\ n=-1 \quad\lor\quad n=10$$ Zaznaczamy na osi nasze wyznaczone miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności mamy znak \(\lt\)) i szkicujemy parabolę. Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, zatem: Teraz musimy odczytać rozwiązania naszej nierówności. Interesują nas wartości mniejsze od zera, czyli wszystko to, co znalazło się pod osią. Możemy więc zapisać, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \(n\in(-1;10)\). Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku. Ze wszystkich dotychczasowych obliczeń wyszło nam, że \(4(n+1)(n-10)\) jest mniejsze od zera dla każdego \(n\), które jest większe od \(-1\) i mniejsze od \(10\). W przypadku ciągów \(n\) musi być dodatnią liczbą naturalną. Musimy więc sprawdzić jakie liczby naturalne mieszczą się w wyznaczonym przez nas przedziale. Takimi liczbami będą: \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\). Pasuje nam \(9\) liczb, zatem ten ciąg ma \(9\) wyrazów ujemnych.

Teoria:      
W trakcie opracowania