Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=(-1)^n\cdot\frac{n}{n+1}\) dla \(n\ge1\). Iloczyn \(a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\) jest równy:

A \(-\frac{1}{2}\)
B \(-\frac{1}{4}\)
C \(0\)
D \(\frac{1}{4}\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego, drugiego oraz trzeciego wyrazu. Podstawiając do wzoru ciągu odpowiednio \(n=1\), \(n=2\) oraz \(n=3\) otrzymamy: $$a_{1}=(-1)^1\cdot\frac{1}{1+1}=-1\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{2} \           ,\ a_{2}=(-1)^2\cdot\frac{2}{2+1}=1\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3} \           ,\ a_{3}=(-1)^3\cdot\frac{3}{3+1}=-1\cdot\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$ Krok 2. Obliczenie iloczynu trzech pierwszych wyrazów. Zgodnie z treścią zadania musimy obliczyć iloczyn trzech pierwszych wyrazów, których wartości przed chwilą wyznaczyliśmy, zatem: $$-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania