Układ współrzędnych
Klasa 7 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
∑Wzory 1
Co robi: opisuje, jak zmieniają się współrzędne punktu przy odbiciach symetrycznych i przesunięciu o wektor.
Jak zapamiętać: symetria względem osi zmienia znak tej drugiej współrzędnej. Odbicie w osi $OX$ przerzuca punkt w pionie, więc zmienia $y$. Symetria środkowa zmienia oba znaki.
Przykłady: punkt $(4,-2)$ po odbiciu w osi $OX$ przechodzi na $(4,\,2)$; punkt $(-2,\,6)$ po symetrii środkowej — na $(2,-6)$.
Przesunięcie: $(2,\,4)$ o wektor $[3,-1]$ daje $(5,\,3)$ — po prostu dodajemy współrzędne.
Ważna własność: wszystkie te przekształcenia są izometriami — nie zmieniają długości, kątów, pola ani obwodu figury. Zmieniają się wyłącznie współrzędne.
Pułapka: mylenie osi przy symetrii. Sprawdzian jest prosty: punkt leżący na osi symetrii nie może się przesunąć. Punkt $(5,\,0)$ przy symetrii względem $OX$ zostaje na miejscu, co potwierdza, że zmieniamy tam $y$, a nie $x$.
📘Teoria 1
Budowa układu
Dwie prostopadłe osie: pozioma $OX$ (odcięte) i pionowa $OY$ (rzędne). Przecinają się w początku układu $O=(0,\,0)$.
Punkt zapisujemy jako parę $(x,\,y)$ — zawsze najpierw odcięta.
Ćwiartki
- I — $(+,+)$, prawa górna
- II — $(-,+)$, lewa górna
- III — $(-,-)$, lewa dolna
- IV — $(+,-)$, prawa dolna
Punkty osi $OX$ mają postać $(x,\,0)$, a osi $OY$ — $(0,\,y)$.
Odcinki równoległe do osi
Gdy odcinek jest poziomy (równe rzędne), jego długość to różnica odciętych. Gdy pionowy — różnica rzędnych. Nie trzeba wtedy twierdzenia Pitagorasa.
Odcinek ukośny
$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
To po prostu twierdzenie Pitagorasa: rysujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równoległych do osi.
Przykład: dla $A=(1,\,1)$ i $B=(5,\,4)$ mamy $\Delta x=4$, $\Delta y=3$, więc $|AB|=5$.
Środek odcinka
$$S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$$
Zadanie odwrotne: znając środek i jeden koniec, drugi znajdujemy z $x_B=2x_S-x_A$.
Odległość od osi
Od osi $OX$ — wartość bezwzględna rzędnej. Od osi $OY$ — wartość bezwzględna odciętej. Odległość nigdy nie jest ujemna.
Symetrie
- względem osi $OX$: $(x,\,y)\to(x,\,-y)$
- względem osi $OY$: $(x,\,y)\to(-x,\,y)$
- względem początku układu: $(x,\,y)\to(-x,\,-y)$
Przesunięcie o wektor
$$(x,\,y)\ \xrightarrow{\ [p,\,q]\ }\ (x+p,\ y+q)$$
Przesunięcie nie zmienia kształtu ani rozmiaru figury — jej pole i obwód pozostają takie same. Zmieniają się tylko współrzędne.
Pola figur w układzie
Dla figur o bokach równoległych do osi wystarczą zwykłe wzory: różnice współrzędnych dają długości boków i wysokości. Trójkąt o wierzchołkach na obu osiach i w początku układu jest prostokątny, więc jego pole to połowa iloczynu przyprostokątnych.
Na co uważać
Kolejność współrzędnych — $(3,\,5)$ i $(5,\,3)$ to różne punkty. Przy odległości od osi nie zapominaj o wartości bezwzględnej.
🧩Quizy 1
✍Zadania 35
W której ćwiartce układu współrzędnych leży punkt $A=(-3,\,5)$?
Podaj współrzędne punktu leżącego na osi $OY$ w odległości $4$ jednostek nad początkiem układu.
Oblicz długość odcinka o końcach $A=(1,\,2)$ i $B=(7,\,2)$.
Punkt $B=(4,\,-2)$ po odbiciu symetrycznym względem osi $OX$ przechodzi na punkt:
Oblicz długość odcinka o końcach $C=(3,\,1)$ i $D=(3,\,8)$.
Który punkt leży na początku układu współrzędnych?
Punkty $A=(0,\,0)$, $B=(6,\,0)$ i $C=(6,\,4)$ są trzema wierzchołkami prostokąta. Podaj współrzędne czwartego wierzchołka i oblicz pole prostokąta.
Oblicz współrzędne środka odcinka o końcach $A=(2,\,3)$ i $B=(8,\,11)$.
Punkt $P=(-5,\,-1)$ leży w ćwiartce:
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A=(0,\,0)$, $B=(8,\,0)$, $C=(0,\,5)$.
Punkt $(3,\,7)$ przesunięto o wektor $[2,\,-4]$. Nowe współrzędne to:
Oblicz obwód prostokąta o wierzchołkach $(1,\,1)$, $(9,\,1)$, $(9,\,4)$, $(1,\,4)$.
Punkt $A=(-2,\,6)$ odbito symetrycznie względem początku układu współrzędnych. Podaj współrzędne obrazu.
Które punkty leżą na tej samej prostej pionowej?
Punkty $A=(1,\,2)$ i $B=(1,\,8)$ są dwoma wierzchołkami kwadratu. Podaj współrzędne dwóch pozostałych wierzchołków, jeśli kwadrat leży na prawo od $AB$.
Ile wynosi odległość punktu $(0,\,-7)$ od osi $OX$?
Oblicz pole trapezu o wierzchołkach $A=(0,\,0)$, $B=(10,\,0)$, $C=(7,\,4)$, $D=(2,\,4)$.
Punkt $S=(4,\,5)$ jest środkiem odcinka $AB$, przy czym $A=(1,\,2)$. Wyznacz współrzędne punktu $B$.
Oblicz długość odcinka o końcach $A=(1,\,1)$ i $B=(5,\,4)$.
Prostokąt ma wierzchołki $(2,\,1)$, $(8,\,1)$, $(8,\,5)$, $(2,\,5)$. Przesunięto go o wektor $[-3,\,2]$. Podaj współrzędne nowych wierzchołków i sprawdź, czy pole się zmieniło.
W układzie współrzędnych zaznaczono wierzchołki równoległoboku $ABCD$: $A=(-3,-2)$, $C=(4,2)$, $D=(-1,2)$. Współrzędna $x$ wierzchołka $B$ jest dodatnia. Niezaznaczony wierzchołek $B$ ma współrzędne
Jakie współrzędne ma wierzchołek \(N\) tego trapezu?
Adam, Bernard, Cezary i Daniel mieli obliczyć długości poszczególnych odcinków, a następnie uporządkować te odcinki od najkrótszego do najdłuższego. Rozwiązania chłopców przedstawiono w tabeli.
Kto podał prawidłowe rozwiązanie?
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Obie współrzędne punktu \(A\) i obie współrzędne punktu \(B\) są ujemne.
Odcinek \(AB\) ma długość \(15\).
Obie współrzędne punktu \(A\) i obie współrzędne punktu \(B\) są ujemne.
Odcinek \(AB\) ma długość \(15\).
Które z tych punktów należą do wykresu funkcji określonej wzorem \(y=2x^2-3\)?
Czy punkt \(B\) leży w kole o środku w punkcie \(A\) i promieniu \(r=4\)? Odpowiedź uzasadnij.
Dwa pozostałe wierzchołki tego kwadratu mają współrzędne:
Małgosia narysowała w opisany sposób czwarty równoległobok. Współrzędna \(y\) prawego górnego wierzchołka tego równoległoboku jest równa:
Agnieszka narysowała w taki sam sposób \(n\) równoległoboków. Współrzędna \(y\) prawego górnego wierzchołka ostatniego równoległoboku jest równa:
Współrzędne prawego górnego wierzchołka ostatniego narysowanego równoległoboku są równe \((a,b)\). Współrzędne takiego wierzchołka w następnym równoległoboku będą równe:
Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.