Układ współrzędnych

1. $x$: $2+3=5$; $y$: $-5+4=-1$.

Odpowiedź: $(5,-1)$

1. Odcinek jest poziomy: $|6-(-2)|=8$.

Odpowiedź: $8$

1. $x=-1+4=3$, $y=-2+3=1$, czyli punkt $(3,1)$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? Zwiększamy obie współrzędne, zachowując kolejność $(x,y)$.

1. Jeden litr wystarcza na $10\ \text{m}^2$.
2. 1. $18$ litrów $\to 180\ \text{m}^2$ — prawda.
3. 2. Na $125\ \text{m}^2$ potrzeba $12{,}5$ litra, więc $12$ litrów nie wystarczy — fałsz.

Odpowiedź: PF

1. $|AB|=|7-1|=6$ (odcinek poziomy), $|BC|=|6-2|=4$ (odcinek pionowy).
2. Trójkąt jest prostokątny: $P=\dfrac{6\cdot4}{2}=12$.

Odpowiedź: $12$

1. $\vec{AB}=(5,1)$, a w równoległoboku $\vec{DC}=\vec{AB}$.
2. $D=C-\vec{AB}=(7-5,\ 5-1)=(2,4)$.

Odpowiedź: $D=(2,4)$

1. Bok $AB$ jest poziomy i ma długość $|4-(-2)|=6$.
2. Kwadrat leży nad bokiem, więc pozostałe wierzchołki są wyżej o $6$ jednostek.
3. $C=(4,1+6)=(4,7)$, $D=(-2,7)$.

Odpowiedź: $C=(4,7)$, $D=(-2,7)$

1. Cena za $1$ kg: $18:4=4{,}50$ zł.
2. $7$ kg: $7\cdot4{,}50=31{,}50$ zł.
3. Za $45$ zł: $45:4{,}50=10$ kg.

Odpowiedź: $31{,}50$ zł; $10$ kg

1. Podstawa $AB$ leży na osi $x$: $|AB|=8$, wysokość z $C$ to $6$.
2. $P=\dfrac{8\cdot6}{2}=24$.
3. $|AC|=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}$, $|BC|=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}$ — ramiona są równe, więc trójkąt jest równoramienny.

Odpowiedź: $P=24$; tak, jest równoramienny

1. $\vec{AB}=(4,0)$ oraz $\vec{DC}=(6-2,\ 3-3)=(4,0)$ — wektory są równe, więc $AB\parallel DC$ i $|AB|=|DC|$.
2. Czworokąt z parą boków równoległych i równych jest równoległobokiem. $\blacksquare$
3. Podstawa $|AB|=4$, wysokość to odległość między prostymi $y=0$ i $y=3$, czyli $3$.
4. $P=4\cdot3=12$.

Odpowiedź: $P=12$

Pierwsza współrzędna ujemna, druga dodatnia — to lewa górna część układu.

Ćwiartki po kolei: I $(+,+)$, II $(-,+)$, III $(-,-)$, IV $(+,-)$.

Odpowiedź: B. w II.

Na osi $OY$ pierwsza współrzędna zawsze wynosi zero:

$$P=(0,\,4)$$

Analogicznie: punkty osi $OX$ mają postać $(x,\,0)$.

Odpowiedź: $(0,\,4)$.

Odcinek jest poziomy (obie rzędne równe), więc wystarczy odjąć odcięte:

$$|AB|=7-1=6$$

Odpowiedź: $6$ jednostek.

Symetria względem osi $OX$ zmienia znak drugiej współrzędnej:

$$(x,\,y)\ \to\ (x,\,-y)$$

$$(4,\,-2)\ \to\ (4,\,2)$$

Dla porównania: symetria względem $OY$ zmieniłaby pierwszą współrzędną, dając $(-4,\,-2)$.

Odpowiedź: D. $(4,\,2)$.

Odcinek jest pionowy (obie odcięte równe), więc odejmujemy rzędne:

$$|CD|=8-1=7$$

Odpowiedź: $7$ jednostek.

Początek układu to punkt przecięcia obu osi, oznaczany zwykle literą $O$.

Odpowiedź: A. $(0,\,0)$.

Krok 1 — czwarty wierzchołek. Prostokąt zamyka się punktem o odciętej jak $A$ i rzędnej jak $C$:

$$D=(0,\,4)$$

Krok 2 — wymiary: boki mają $6$ i $4$ jednostki.

Krok 3 — pole:

$$P=6\cdot4=24$$

Odpowiedź: $D=(0,\,4)$, pole $24$.

Środek to średnia odpowiednich współrzędnych:

$$S=\left(\frac{2+8}{2},\ \frac{3+11}{2}\right)=(5,\,7)$$

Sprawdzenie: od $2$ do $5$ jest $3$ i od $5$ do $8$ też $3$ ✔

Odpowiedź: $S=(5,\,7)$.

Obie współrzędne są ujemne — to lewa dolna część układu.

Odpowiedź: C. III.

Krok 1 — rozpoznanie. Bok $AB$ leży na osi $OX$, bok $AC$ na osi $OY$ — trójkąt jest prostokątny z kątem prostym w $A$.

Krok 2 — przyprostokątne: $|AB|=8$, $|AC|=5$.

Krok 3 — pole:

$$P=\frac{8\cdot5}{2}=20$$

Odpowiedź: $20$.

Przesunięcie dodaje współrzędne wektora do współrzędnych punktu:

$$(3+2,\ 7-4)=(5,\,3)$$

Odpowiedź: B. $(5,\,3)$.

Krok 1 — boki poziome:

$$9-1=8$$

Krok 2 — boki pionowe:

$$4-1=3$$

Krok 3 — obwód:

$$O=2(8+3)=22$$

Odpowiedź: $22$ jednostki.

Symetria środkowa względem punktu $(0,\,0)$ zmienia znaki obu współrzędnych:

$$(x,\,y)\ \to\ (-x,\,-y)$$

$$(-2,\,6)\ \to\ (2,\,-6)$$

Sprawdzenie: początek układu jest środkiem odcinka łączącego oba punkty ✔

Odpowiedź: $(2,\,-6)$.

Prosta pionowa to zbiór punktów o tej samej pierwszej współrzędnej.

W odpowiedzi A obie odcięte wynoszą $4$.

Uwaga: punkty z odpowiedzi B mają wspólną drugą współrzędną — leżą na prostej poziomej.

Odpowiedź: A. $(4,\,1)$ i $(4,\,9)$.

Krok 1 — długość boku:

$$|AB|=8-2=6$$

Krok 2 — przesuwamy oba punkty o $6$ w prawo:

$$C=(7,\,8),\qquad D=(7,\,2)$$

Sprawdzenie: wszystkie boki mają po $6$ jednostek ✔

Odpowiedź: $(7,\,8)$ i $(7,\,2)$.

Odległość od osi $OX$ to wartość bezwzględna drugiej współrzędnej:

$$|-7|=7$$

Uwaga: odległość nigdy nie jest ujemna. Odległość tego punktu od osi $OY$ wynosi natomiast $0$ — punkt leży na tej osi.

Odpowiedź: D. $7$.

Krok 1 — podstawy. Oba boki poziome:

$$|AB|=10-0=10,\qquad |DC|=7-2=5$$

Krok 2 — wysokość. To różnica rzędnych między podstawami:

$$h=4-0=4$$

Krok 3 — pole:

$$P=\frac{(10+5)\cdot4}{2}=\frac{60}{2}=30$$

Odpowiedź: $30$.

Sposób 1 — z wzoru na środek. Dla pierwszej współrzędnej:

$$\frac{1+x_B}{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x_B=7$$

Dla drugiej:

$$\frac{2+y_B}{2}=5 \quad\Rightarrow\quad y_B=8$$

Sposób 2 — przez przesunięcie. Z $A$ do $S$ idziemy o $[3,\,3]$, więc z $S$ do $B$ idziemy o tyle samo: $(4+3,\ 5+3)=(7,\,8)$.

Odpowiedź: $B=(7,\,8)$.

Krok 1 — trójkąt pomocniczy. Odcinek $AB$ jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych poziomej i pionowej:

$$\Delta x=5-1=4,\qquad \Delta y=4-1=3$$

Krok 2 — twierdzenie Pitagorasa:

$$|AB|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$$

Rozpoznanie: klasyczna trójka $3$–$4$–$5$.

Odpowiedź: $5$ jednostek.

Krok 1 — przesuwamy każdy wierzchołek (do pierwszej współrzędnej dodajemy $-3$, do drugiej $+2$):

• $(2,\,1)\to(-1,\,3)$
• $(8,\,1)\to(5,\,3)$
• $(8,\,5)\to(5,\,7)$
• $(2,\,5)\to(-1,\,7)$

Krok 2 — pole przed przesunięciem:

$$P=(8-2)\cdot(5-1)=6\cdot4=24$$

Krok 3 — pole po przesunięciu:

$$P=(5-(-1))\cdot(7-3)=6\cdot4=24$$

Wniosek: przesunięcie nie zmienia ani kształtu, ani rozmiaru figury — jest izometrią. Zmieniają się tylko współrzędne.

Odpowiedź: $(-1,\,3)$, $(5,\,3)$, $(5,\,7)$, $(-1,\,7)$; pole nadal wynosi $24$.