Średnia arytmetyczna

Sumujemy i dzielimy przez liczbę elementów:

$$\frac{6+8+10+12}{4}=\frac{36}{4}=9$$

Odpowiedź: B. $9$.

$$\frac{8+12+16+4}{4}=\frac{40}{4}=10$$

Odpowiedź: C. $10$.

Krok 1 — suma ocen:

$$3+5+4+4+2+6=24$$

Krok 2 — dzielimy przez liczbę ocen:

$$24:6=4$$

Odpowiedź: średnia wynosi $4$.

Suma:

$$45+38+52+41+64=240$$

Najlepszy dzień: piątek ($64$ bilety).

Odpowiedź: $240$ biletów, najlepszy piątek.

Przekształcamy wzór na średnią:

$$\text{suma}=\text{średnia}\cdot n=14\cdot5=70$$

Odpowiedź: $70$.

Suma podzielona przez liczbę dni:

$$\frac{240}{5}=48\ \text{biletów}$$

Kontrola sensu: wynik leży między najmniejszą ($38$) a największą ($64$) wartością ✔

Odpowiedź: $48$ biletów dziennie.

Mnożymy liczbę kratek przez wartość jednej kratki:

$$7\cdot4=28$$

Odpowiedź: C. $28$ osób.

Całe koło to $360^\circ$ i $100\%$:

$$\frac{72}{360}=0{,}2=20\%$$

Skrót: $1\%$ to $3{,}6^\circ$, więc $72:3{,}6=20$.

Odpowiedź: B. $20\%$.

Krok 1 — suma wszystkich czterech:

$$15\cdot4=60$$

Krok 2 — suma trzech znanych:

$$12+18+14=44$$

Krok 3 — czwarta liczba:

$$60-44=16$$

Sprawdzenie: $\frac{44+16}{4}=15$ ✔

Odpowiedź: $16$.

Średnia:

$$\frac{4+5+3+4+4}{5}=\frac{20}{5}=4$$

Najczęstsza ocena (dominanta): $4$ — trzy razy.

Odpowiedź: średnia $4$, dominanta $4$.

Dzielimy kąt wycinka przez pełny kąt:

$$\frac{72^\circ}{360^\circ}=0{,}2=20\%$$

Odpowiedź: A. $20\%$.

Wykres liniowy najlepiej pokazuje zmianę wielkości w czasie — linia obrazuje wzrosty i spadki.

Diagram kołowy nadaje się do przedstawiania udziałów w całości, a nie zmian w czasie.

Odpowiedź: A. wykres liniowy.

Krok 1 — średnia:

$$\frac{2+3+1+4+0}{5}=\frac{10}{5}=2$$

Krok 2 — dni powyżej średniej. Sprawdzamy, które wartości są większe od $2$: wtorek ($3$) i czwartek ($4$).

Uwaga: poniedziałek ($2$) nie liczy się — jest równy średniej, a nie większy.

Odpowiedź: średnia $2$ godziny; w $2$ dniach powyżej średniej.

Krok 1 — suma pięciu liczb:

$$5\cdot14=70$$

Krok 2 — nowa suma:

$$70+20=90$$

Krok 3 — nowa średnia:

$$\frac{90}{6}=15$$

Dlaczego wzrosła: dodana liczba ($20$) była większa od dotychczasowej średniej ($14$).

Odpowiedź: suma $70$; nowa średnia $15$.

Krok 1 — liczba uczniów:

$$0{,}25\cdot24=6$$

Krok 2 — kąt wycinka:

$$0{,}25\cdot360^\circ=90^\circ$$

Odpowiedź: $6$ uczniów, kąt $90^\circ$.

Krok 1 — procent wybierających koncert:

$$100\%-40\%-35\%=25\%$$

Krok 2 — liczba osób:

$$0{,}25\cdot250=62{,}5$$

Krok 3 — interpretacja. Liczba osób musi być całkowita, więc podane procenty są zaokrąglone. Wynik $62{,}5$ oznacza, że w rzeczywistości było $62$ lub $63$ osoby.

Odpowiedź: około $63$ osoby.

Wykres liniowy najlepiej oddaje trend — jak wartość zmienia się w kolejnych momentach (temperatura w ciągu dnia, sprzedaż w miesiącach).

Dla porównania: strukturę całości pokazuje diagram kołowy, a porównania między grupami — słupkowy.

Odpowiedź: D.

Dane są uporządkowane, a elementów jest pięć — mediana to wyraz trzeci:

$$9$$

Uwaga: $9$ to tutaj także średnia ($\frac{45}{5}=9$), ale to zbieg okoliczności — zwykle te wielkości się różnią.

Odpowiedź: D. $9$.

Krok 1 — suma przed zmianą:

$$165\cdot6=990\ \text{cm}$$

Krok 2 — nowa suma:

$$990+172=1162\ \text{cm}$$

Krok 3 — nowa średnia dla $7$ osób:

$$\frac{1162}{7}=166\ \text{cm}$$

Kontrola sensu: nowy chłopiec jest wyższy od średniej, więc średnia wzrosła ✔

Odpowiedź: $166$ cm.

Średnia:

$$\frac{150+162+158+170+155}{5}=\frac{795}{5}=159\ \text{cm}$$

Rozstęp:

$$170-150=20\ \text{cm}$$

Odpowiedź: średnia $159$ cm, rozstęp $20$ cm.

Wszystkie wycinki sumują się do $100\%$:

$$100-40-30-20=10\%$$

Odpowiedź: B. $10\%$.

Suma to średnia razy liczba elementów:

$$6\cdot3{,}5=21$$

Odpowiedź: C. $21$.

Krok 1 — liczba uczniów:

$$2+7+9+2=20$$

Krok 2 — suma ocen (każdą ocenę mnożymy przez liczebność):

$$2\cdot2+3\cdot7+4\cdot9+5\cdot2=4+21+36+10=71$$

Krok 3 — średnia:

$$\frac{71}{20}=3{,}55$$

Odpowiedź: $20$ uczniów, średnia $3{,}55$.

Krok 1 — sumy punktów:

$$20\cdot72=1440,\qquad 30\cdot67=2010$$

Krok 2 — średnia ważona:

$$\frac{1440+2010}{50}=\frac{3450}{50}=69\ \text{punktów}$$

Kontrola: wynik leży między $67$ a $72$, bliżej $67$ — bo klasa B jest liczniejsza ✔ Zwykła średnia dałaby $69{,}5$.

Odpowiedź: $69$ punktów.

Krok 1 — średnia:

$$\frac{18+21+19+22+20}{5}=\frac{100}{5}=20^\circ$$

Krok 2 — rozstęp (różnica największej i najmniejszej):

$$22-18=4^\circ$$

Odpowiedź: średnia $20^\circ$, rozstęp $4^\circ$.

Krok 1 — wzrost w sztukach:

$$180-120=60$$

Krok 2 — odnosimy do wartości początkowej:

$$\frac{60}{120}=0{,}5=50\%$$

Uwaga: odnosimy do stycznia, bo od niego liczymy zmianę.

Odpowiedź: o $50\%$.

Gdy oś nie zaczyna się od zera, widzimy tylko górne fragmenty słupków, przez co niewielka różnica liczbowa wygląda na dużą.

Przykład: wartości $95$ i $100$ różnią się o $5\%$, ale przy osi od $90$ jeden słupek jest dwa razy wyższy od drugiego.

To nie błąd rachunkowy, lecz chwyt wizualny — dlatego przy czytaniu wykresu zawsze sprawdzaj początek osi.

Odpowiedź: C.

Wycinki wypełniają całe koło, więc ich kąty sumują się do kąta pełnego.

Równolegle: procenty muszą sumować się do $100\%$. To dobra kontrola poprawności diagramu.

Odpowiedź: A. $360^\circ$.

Krok 1 — średnia:

$$\frac{120+150+180}{3}=\frac{450}{3}=150$$

Krok 2 — wzrost procentowy (względem stycznia):

$$\frac{180-120}{120}=\frac{60}{120}=0{,}5=50\%$$

Odpowiedź: średnia $150$ sztuk; wzrost o $50\%$.

Krok 1 — potrzebna suma czterech ocen:

$$4\cdot4=16$$

Krok 2 — suma dotychczasowa:

$$3+4+5=12$$

Krok 3 — brakująca ocena:

$$16-12=4$$

Odpowiedź: musi dostać $4$.

Dodanie liczby równej dotychczasowej średniej nie zmienia jej wartości.

Reguła: liczba większa od średniej ją podnosi, mniejsza obniża, równa pozostawia bez zmian.

Odpowiedź: A. nie zmieni się.

Średnia wynosi $\frac{124}{5}=24{,}8$ — nie opisuje żadnej z czterech pierwszych liczb.

Mediana to wartość środkowa, czyli $6$ — znacznie lepiej oddaje typowy przypadek.

Przyczyna: wartość $100$ mocno odstaje od reszty i zawyża średnią, ale nie wpływa na medianę.

Odpowiedź: B. mediana.

Uwaga: grupy mają różną liczebność, więc nie uśredniamy wprost $70$ i $80$.

Krok 1 — sumy punktów:

$$70\cdot8=560,\qquad 80\cdot12=960$$

Krok 2 — suma łączna:

$$560+960=1520$$

Krok 3 — średnia:

$$\frac{1520}{20}=76$$

Kontrola: wynik $76$ leży bliżej $80$, bo druga grupa jest liczniejsza. Zwykła średnia dałaby błędne $75$.

Odpowiedź: $76$ punktów.

Krok 1 — procent grupy „inne":

$$100\%-35\%-25\%-20\%-15\%=5\%$$

Krok 2 — liczba uczniów:

• piłka nożna: $0{,}35\cdot400=140$
• siatkówka: $0{,}25\cdot400=100$
• koszykówka: $0{,}20\cdot400=80$
• pływanie: $0{,}15\cdot400=60$
• inne: $0{,}05\cdot400=20$

Krok 3 — kąty (procent razy $3{,}6^\circ$):

$$126^\circ,\quad 90^\circ,\quad 72^\circ,\quad 54^\circ,\quad 18^\circ$$

Kontrole: $140+100+80+60+20=400$ ✔ oraz $126+90+72+54+18=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $140$, $100$, $80$, $60$ i $20$ uczniów.

Krok 1 — suma sześciu liczb:

$$12\cdot6=72$$

Krok 2 — suma siedmiu liczb:

$$13\cdot7=91$$

Krok 3 — dodana liczba to różnica:

$$91-72=19$$

Kontrola sensu: średnia wzrosła, więc dodana liczba musi być większa od poprzedniej średniej $12$ — i rzeczywiście $19>12$ ✔

Odpowiedź: dodano liczbę $19$.

Krok 1 — suma wieku ośmiu osób:

$$8\cdot24=192$$

Krok 2 — nowa suma:

$$192+42=234$$

Krok 3 — nowa średnia:

$$\frac{234}{9}=26\ \text{lat}$$

Kontrola sensu: nowa osoba jest starsza od średniej, więc średnia musiała wzrosnąć — i wzrosła o $2$ lata ✔

Odpowiedź: $26$ lat.

Krok 1 — procent trzeciej odpowiedzi:

$$100-45-35=20\%$$

Krok 2 — liczby osób:

$$\text{tak: } 0{,}45\cdot400=180$$

$$\text{nie: } 0{,}35\cdot400=140$$

$$\text{nie mam zdania: } 0{,}2\cdot400=80$$

Sprawdzenie: $180+140+80=400$ ✔

Odpowiedź: $180$, $140$ i $80$ osób.

Krok 1 — liczba uczniów:

$$3+8+10+4=25$$

Krok 2 — suma ocen (każdą mnożymy przez liczebność):

$$2\cdot3+3\cdot8+4\cdot10+5\cdot4=6+24+40+20=90$$

Krok 3 — średnia:

$$\frac{90}{25}=3{,}6$$

Uwaga: to średnia ważona — nie wolno tu liczyć zwykłej średniej z ocen $2$, $3$, $4$, $5$ (dałaby $3{,}5$), bo każda ocena wystąpiła inną liczbę razy.

Odpowiedź: $25$ uczniów, średnia $3{,}6$.

Krok 1 — suma potrzebna dla średniej $4$ z pięciu ocen:

$$4\cdot5=20$$

Krok 2 — suma dotychczasowych ocen:

$$4+3+5+4=16$$

Krok 3 — brakująca ocena:

$$20-16=4$$

Sprawdzenie: $\frac{16+4}{5}=\frac{20}{5}=4$ ✔

Odpowiedź: uczeń musi dostać $4$.

Krok 1 — suma wszystkich pensji:

$$10\cdot9000=90\,000\ \text{zł}$$

Krok 2 — suma pensji dziewięciu pracowników:

$$9\cdot5000=45\,000\ \text{zł}$$

Krok 3 — pensja prezesa:

$$90\,000-45\,000=45\,000\ \text{zł}$$

Krok 4 — ocena nagłówka. Liczba $9000$ zł jest formalnie poprawna, ale nikt w firmie tyle nie zarabia — dziewięć osób dostaje $5000$ zł, a jedna $45\,000$ zł.

Lepsza miara. Mediana wynosi $5000$ zł (środkowa wartość z dziesięciu pensji, gdzie piąta i szósta to po $5000$ zł) i to ona uczciwie opisuje sytuację typowego pracownika.

Odpowiedź: prezes zarabia $45\,000$ zł; nagłówek jest mylący — powinien podawać medianę.

Rozwiązanie

1. $a+b+c=3\cdot2=6$, $d+e+f+g=4\cdot5{,}5=22$.
2. Średnia $=\dfrac{6+22}{7}=\dfrac{28}{7}=4$.

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

1. Sumy: $a{+}b{+}c{+}d=36$, $e{+}f=12$; różnica $36-12=24$ → B.
2. Średnia sześciu: $\dfrac{36+12}{6}=8$ → C.

Odpowiedź: B i C

Rozwiązanie

$a+b+c=27$; suma sześciu liczb $=2\cdot27=54$; średnia $=\tfrac{54}{6}=9$.

Odpowiedź: A