Przekształcanie wzorów

Opuszczamy nawiasy — przed oboma stoi plus, więc znaki się nie zmieniają:

$$3x+5+2x-1$$

Redukujemy wyrazy podobne:

$$(3x+2x)+(5-1)=5x+4$$

Odpowiedź: B. $5x+4$.

Krok 1 — opuszczamy nawiasy. Przed drugim stoi minus, więc każdy wyraz w środku zmienia znak:

$$7a-3-2a-5$$

Krok 2 — redukujemy:

$$5a-8$$

Najczęstszy błąd: zmiana znaku tylko przy pierwszym wyrazie, co dałoby $5a+2$.

Odpowiedź: $5a-8$.

Dzielimy obie strony przez $a$:

$$b=\frac{P}{a}$$

Założenie: $a\neq0$ — bok prostokąta i tak musi być dodatni.

Odpowiedź: $b=\frac{P}{a}$.

Dzielimy obie strony przez $v$:

$$t=\frac{s}{v}$$

Kontrola jednostkami: kilometry dzielone przez kilometry na godzinę dają godziny ✔ To szybki sposób sprawdzenia, czy wzór przekształcono dobrze.

Odpowiedź: C. $t=\frac{s}{v}$.

Krok 1 — mnożymy przez liczby przed nawiasami:

$$2x+6+3x-3$$

Krok 2 — redukujemy:

$$5x+3$$

Odpowiedź: $5x+3$.

Krok 1 — dzielimy przez $2$:

$$\frac{O}{2}=a+b$$

Krok 2 — odejmujemy $a$:

$$b=\frac{O}{2}-a$$

Uwaga na kolejność. Najpierw dzielimy całość przez $2$, dopiero potem odejmujemy — odwrotna kolejność daje błędne $\frac{O-a}{2}$.

Sprawdzenie: dla $O=20$ i $a=4$ mamy $b=10-4=6$, a rzeczywiście $2(4+6)=20$ ✔

Odpowiedź: A. $b=\frac{O}{2}-a$.

Krok 1 — mnożymy obie strony przez $2$:

$$2P=(a+b)h$$

Krok 2 — dzielimy przez $(a+b)$:

$$h=\frac{2P}{a+b}$$

Sprawdzenie: dla $a=8$, $b=12$ i $h=5$ pole wynosi $50$, a wzór odwrotny daje $h=\frac{100}{20}=5$ ✔

Zapamiętaj: gdy we wzorze jest dzielenie przez $2$, w przekształceniu pojawi się mnożenie przez $2$ — to najczęściej gubiony element.

Odpowiedź: $h=\frac{2P}{a+b}$.

Krok 1 — opuszczamy drugi nawias, zmieniając wszystkie znaki:

$$4x^2-3x+2-x^2+5x+1$$

Krok 2 — grupujemy wyrazy podobne:

$$\left(4x^2-x^2\right)+(-3x+5x)+(2+1)$$

Krok 3 — redukujemy:

$$3x^2+2x+3$$

Kontrola dla $x=1$: lewa strona $3-(-5)=8$, prawa $3+2+3=8$ ✔

Odpowiedź: $3x^2+2x+3$.

Mnożymy przez $2$, potem dzielimy przez $h$:

$$2P=a\cdot h \quad\Rightarrow\quad a=\frac{2P}{h}$$

Sprawdzenie: dla $a=10$ i $h=6$ pole wynosi $30$, a $\frac{60}{6}=10$ ✔

Odpowiedź: D. $a=\frac{2P}{h}$.

Krok 1 — wymnażamy nawiasy:

$$6a-3b-2a+6b$$

Krok 2 — redukujemy:

$$4a+3b$$

Uwaga na drugi nawias: mnożymy przez $-2$, więc $-2\cdot(-3b)=+6b$. Podwójna zmiana znaku jest tu kluczowa.

Odpowiedź: $4a+3b$.

Podstawiamy, pamiętając o nawiasie przy liczbie ujemnej:

$$2\cdot4-3\cdot(-1)=8+3=11$$

Pułapka: pominięcie nawiasu prowadzi do $8-3=5$ — odejmowanie liczby ujemnej daje dodawanie.

Odpowiedź: B. $11$.

Krok 1 — przekształcamy wzór:

$$P_p=\frac{V}{H}$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$P_p=\frac{240}{8}=30\ \text{cm}^2$$

Kontrola jednostek: cm³ podzielone przez cm daje cm² ✔

Odpowiedź: $P_p=\frac{V}{H}=30$ cm².

Krok 1 — wzór na obwód:

$$O=2\bigl(x+(x+4)\bigr)$$

Krok 2 — upraszczamy nawias:

$$O=2(2x+4)$$

Krok 3 — wymnażamy:

$$O=4x+8$$

Sprawdzenie dla $x=3$: boki to $3$ i $7$, obwód $20$, a ze wzoru $12+8=20$ ✔

Odpowiedź: $O=4x+8$.

Krok 1 — odejmujemy $32$:

$$F-32=\frac{9}{5}C$$

Krok 2 — mnożymy przez $\frac59$:

$$C=\frac{5(F-32)}{9}$$

Sprawdzenie: dla $F=212$ dostajemy $\frac{5\cdot180}{9}=100$ °C — temperatura wrzenia wody ✔

Odpowiedź: C. $C=\frac{5(F-32)}{9}$.

Krok 1 — wymnażamy pierwszy składnik:

$$x^2+2x$$

Krok 2 — odejmujemy drugi, zmieniając znaki:

$$x^2+2x-x+1=x^2+x+1$$

Krok 3 — podstawiamy $x=5$:

$$25+5+1=31$$

Sprawdzenie wprost: $5\cdot7-4=35-4=31$ ✔

Odpowiedź: $x^2+x+1$, a dla $x=5$ wynosi $31$.

Wyrazy podobne mają tę samą literę w tej samej potędze:

$$5x^2-2x^2=3x^2,\qquad 3x+7x=10x$$

Po redukcji zostaje $3x^2+10x$.

Uwaga: $x^2$ i $x$ to różne potęgi, więc takich wyrazów nie wolno łączyć.

Odpowiedź: A. $5x^2$ z $-2x^2$ oraz $3x$ z $7x$.

Krok 1 — przenosimy wyraz bez $h$ na lewą stronę:

$$P-2\pi r^2=2\pi rh$$

Krok 2 — dzielimy przez $2\pi r$:

$$h=\frac{P-2\pi r^2}{2\pi r}$$

Krok 3 — postać alternatywna. Można też rozbić ułamek:

$$h=\frac{P}{2\pi r}-r$$

Ogólna zasada. Gdy szukana litera występuje tylko w jednym składniku, najpierw izolujemy ten składnik, a dopiero potem dzielimy przez to, co przy nim stoi.

Odpowiedź: $h=\frac{P-2\pi r^2}{2\pi r}$.

Krok 1 — powiększenie o $30\%$:

$$1{,}3x$$

Krok 2 — pomniejszenie o $10$:

$$1{,}3x-10$$

Krok 3 — wartość dla $x=200$:

$$1{,}3\cdot200-10=260-10=250$$

Uwaga na różnicę. „Powiększona o $30\%$” to mnożenie przez $1{,}3$, a „pomniejszona o $10$” to odejmowanie liczby. Procent zawsze odnosi się do czegoś, a zwykła liczba — nie.

Odpowiedź: $1{,}3x-10$, a dla $x=200$ wynosi $250$.

Krok 1 — izolujemy nawias z $n$:

$$a_n-a_1=(n-1)r$$

Krok 2 — dzielimy przez $r$:

$$\frac{a_n-a_1}{r}=n-1$$

Krok 3 — dodajemy $1$:

$$n=\frac{a_n-a_1}{r}+1$$

Krok 4 — podstawiamy dane: $a_1=5$, $r=4$, $a_n=101$:

$$n=\frac{101-5}{4}+1=\frac{96}{4}+1=25$$

Sprawdzenie: $5+24\cdot4=101$ ✔

Odpowiedź: $n=\frac{a_n-a_1}{r}+1$, czyli $25$ wyrazów.

Krok 1 — zapis algebraiczny. Trzy kolejne liczby naturalne zapiszemy przez jedną niewiadomą:

$$n,\qquad n+1,\qquad n+2$$

Krok 2 — sumujemy:

$$n+(n+1)+(n+2)=3n+3$$

Krok 3 — wyłączamy wspólny czynnik:

$$3n+3=3(n+1) \qquad ∎$$

Suma jest iloczynem liczby $3$ i liczby naturalnej, więc dzieli się przez $3$.

Wniosek dodatkowy. Iloraz wynosi $n+1$, czyli dokładnie środkową z tych trzech liczb. Suma trzech kolejnych liczb to zawsze potrojona liczba środkowa.

Sprawdzenie: $7+8+9=24=3\cdot8$ ✔

Rozwiązanie

$L=2a+2b+c\Rightarrow 2a=L-2b-c\Rightarrow a=\dfrac{L-2b-c}{2}$.

Odpowiedź: A