Proporcje i ich własności

Mnożymy na krzyż — iloczyny wyrazów skrajnych i środkowych są równe:

$$8x=4\cdot6=24 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Sposób szybszy: ułamek $\frac68$ skraca się do $\frac34$, więc od razu widać, że $x=3$.

Odpowiedź: B. $x=3$.

Mnożymy na krzyż:

$$20x=60 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Sprawdzenie: $\frac34=\frac{15}{20}$ — oba ułamki równe $0{,}75$ ✔

Odpowiedź: C. $3$.

Proporcja to równość dwóch stosunków: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

Odpowiedź: B.

Mnożymy na krzyż:

$$15x=5\cdot9=45$$

Dzielimy:

$$x=\frac{45}{15}=3$$

Sprawdzenie: $\frac53$ oraz $\frac{15}{9}=\frac53$ — obie strony są równe ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Krok 1 — cena za kilogram:

$$17{,}50:5=3{,}50\ \text{zł}$$

Krok 2 — osiem kilogramów:

$$8\cdot3{,}50=28\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $28$ zł.

Mnożymy na krzyż:

$$8x=4\cdot6=24 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Odpowiedź: $x=3$.

Cena jest wprost proporcjonalna do masy, więc układamy proporcję:

$$\frac{4}{14}=\frac{6}{x}$$

Mnożymy na krzyż:

$$4x=84 \quad\Rightarrow\quad x=21$$

Sposób alternatywny — przez cenę jednostkową: $1$ kg kosztuje $14:4=3{,}50$ zł, więc $6$ kg to $6\cdot3{,}50=21$ zł. Ten sam wynik.

Odpowiedź: $6$ kg jabłek kosztuje $21$ zł.

Krok 1 — odległość rzeczywista w centymetrach:

$$7\cdot100\,000=700\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamiana na kilometry ($1$ km $=100\,000$ cm):

$$700\,000:100\,000=7\ \text{km}$$

Skrót wart zapamiętania: przy skali $1:100\,000$ każdy centymetr na mapie to dokładnie $1$ km.

Odpowiedź: $7$ km.

Własność proporcji: iloczyn wyrazów skrajnych = iloczyn środkowych:

$$a\cdot d=b\cdot c$$

Odpowiedź: A.

Wielkości są odwrotnie proporcjonalne, gdy ich iloczyn jest stały — wzrost jednej powoduje proporcjonalny spadek drugiej.

Przy ustalonej trasie zachodzi $s=v\cdot t$, gdzie $s$ jest stałe. Im większa prędkość, tym krótszy czas:

$$v\cdot t=\text{const}$$

Pozostałe przypadki są wprost proporcjonalne — tam stały jest iloraz: cena za bułkę, prędkość, stosunek obwodu do boku.

Odpowiedź: C.

Krok 1 — liczba części:

$$2+3=5$$

Krok 2 — jedna część:

$$120:5=24\ \text{zł}$$

Krok 3 — mniejsza część to dwie takie części:

$$2\cdot24=48\ \text{zł}$$

Pułapka: $24$ zł to jedna część, a nie mniejsza z dwóch.

Odpowiedź: B. $48$ zł.

Mnożymy na krzyż:

$$10x=5\cdot6=30 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Odpowiedź: $x=3$.

Krok 1 — liczymy części. Stosunek $2:3$ oznacza podział na $2+3=5$ równych części.

Krok 2 — wartość jednej części:

$$180:5=36\ \text{zł}$$

Krok 3 — obie części:

$$2\cdot36=72\ \text{zł},\qquad 3\cdot36=108\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $72+108=180$ zł ✔, a stosunek $72:108$ po skróceniu przez $36$ daje $2:3$ ✔

Odpowiedź: części wynoszą $72$ zł i $108$ zł.

Mnożymy na krzyż:

$$9x=72 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Sprawdzenie: $\frac68=0{,}75$ oraz $\frac{9}{12}=0{,}75$ ✔

Odpowiedź: $x=8$.

Krok 1 — proporcja:

$$\frac{12}{3}=\frac{x}{5}$$

Krok 2 — mnożymy na krzyż:

$$3x=60 \quad\Rightarrow\quad x=20$$

Odpowiedź: $20$ zł.

Krok 1 — łączna liczba części:

$$3+4=7$$

Krok 2 — jedna część:

$$56:7=8\ \text{cm}$$

Krok 3 — obie części:

$$3\cdot8=24\ \text{cm},\qquad 4\cdot8=32\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $24+32=56$ cm ✔

Odpowiedź: części mają $24$ cm i $32$ cm.

Krok 1 — w centymetrach:

$$3\cdot250=750\ \text{cm}$$

Krok 2 — na metry:

$$750:100=7{,}5\ \text{m}$$

Odpowiedź: A. $7{,}5$ m.

W proporcjonalności prostej obie wielkości zmieniają się tak samo — iloraz jest stały.

Odpowiedź: C. rośnie $2$ razy.

Liczba pracowników i czas są odwrotnie proporcjonalne — więcej osób oznacza krótszy czas, a iloczyn pozostaje stały.

Krok 1 — całkowity nakład pracy:

$$5\cdot12=60\ \text{dniówek}$$

Krok 2 — dzielimy przez nową liczbę pracowników:

$$60:6=10\ \text{dni}$$

Kontrola sensu: pracowników jest więcej, więc czas musi być krótszy niż $12$ dni. Odpowiedzi B i C są większe od $12$ — można je odrzucić bez liczenia.

Odpowiedź: A. $10$ dni.

Krok 1 — stosunek wkładów (dzielimy przez $5$):

$$10:15:25=2:3:5$$

Krok 2 — liczba części:

$$2+3+5=10$$

Krok 3 — jedna część:

$$40\,000:10=4000\ \text{zł}$$

Krok 4 — podział:

$$2\cdot4000=8000,\qquad 3\cdot4000=12\,000,\qquad 5\cdot4000=20\,000$$

Sprawdzenie: $8000+12\,000+20\,000=40\,000$ zł ✔

Odpowiedź: $8000$ zł, $12\,000$ zł i $20\,000$ zł.

Krok 1 — proporcja (droga proporcjonalna do czasu):

$$\frac{150}{2}=\frac{x}{5}$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$2x=750 \quad\Rightarrow\quad x=375\ \text{km}$$

Odpowiedź: $375$ km.

Odległość rzeczywista jest wprost proporcjonalna do odległości na mapie.

Krok 1 — mnożymy przez mianownik skali:

$$7\cdot200\,000=1\,400\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamieniamy jednostki. $1$ km $=100\,000$ cm:

$$1\,400\,000:100\,000=14\ \text{km}$$

Odpowiedź: miasta dzieli $14$ km.

Krok 1 — proporcja. Zużycie jest wprost proporcjonalne do drogi:

$$\frac{6}{100}=\frac{x}{350}$$

Krok 2 — mnożymy na krzyż:

$$100x=2100 \quad\Rightarrow\quad x=21\ \text{litrów}$$

Odpowiedź: $21$ litrów.

Krok 1 — liczba części: $2+3=5$.

Krok 2 — wartość jednej części:

$$60:5=12\ \text{zł}$$

Krok 3 — rozdzielamy:

$$2\cdot12=24\ \text{zł},\qquad 3\cdot12=36\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $24+36=60$ ✔

Odpowiedź: $24$ zł i $36$ zł.

Ilość mąki jest wprost proporcjonalna do liczby bułek.

Krok 1 — układamy proporcję:

$$\frac{12}{900}=\frac{20}{x}$$

Krok 2 — mnożymy na krzyż:

$$12x=18\,000 \quad\Rightarrow\quad x=1500$$

Sposób alternatywny: na jedną bułkę przypada $900:12=75$ g mąki, więc na $20$ bułek trzeba $20\cdot75=1500$ g.

Odpowiedź: potrzeba $1500$ g mąki, czyli $1{,}5$ kg.

Krok 1 — w centymetrach:

$$30\cdot50=1500\ \text{cm}$$

Krok 2 — na metry:

$$1500:100=15\ \text{m}$$

Odpowiedź: D. $15$ m.

Dzielimy oba wyrazy przez $2$:

$$4:6=2:3$$

Odpowiedź: D. $2:3$.

Przy proporcjonalności prostej stały jest iloraz obu wielkości:

$$\frac{y}{x}=\text{const}=\frac{20}{8}=2{,}5$$

Obliczamy nową wartość:

$$y=2{,}5\cdot14=35$$

Sprawdzenie proporcją: $\frac{8}{20}=\frac{14}{35}$, bo $8\cdot35=280$ oraz $20\cdot14=280$ ✔

Odpowiedź: D. $y=35$.

Krok 1 — liczba części:

$$3+5=8$$

Krok 2 — jedna część:

$$56:8=7\ \text{cm}$$

Krok 3 — obie części:

$$3\cdot7=21\ \text{cm},\qquad 5\cdot7=35\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $21+35=56$ cm ✔

Odpowiedź: $21$ cm i $35$ cm.

Krok 1 — odległość rzeczywista w cm:

$$4\cdot200\,000=800\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamiana na km ($1$ km $=100\,000$ cm):

$$800\,000\ \text{cm}=8\ \text{km}$$

Odpowiedź: $8$ km.

Krok 1 — łączna liczba części:

$$1+2+5=8$$

Krok 2 — wartość jednej części:

$$2400:8=300\ \text{zł}$$

Krok 3 — poszczególne udziały:

$$1\cdot300=300\ \text{zł},\qquad 2\cdot300=600\ \text{zł},\qquad 5\cdot300=1500\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $300+600+1500=2400$ zł ✔

Odpowiedź: osoby otrzymały $300$ zł, $600$ zł i $1500$ zł.

Przy proporcjonalności wprost wzrost jednej wielkości powoduje wzrost drugiej w tym samym stosunku. Dwa razy więcej biletów to dwa razy większa kwota.

Pozostałe przykłady opisują proporcjonalność odwrotną: więcej robotników — krócej, większa prędkość — krótszy czas, więcej osób — mniejsze porcje.

Odpowiedź: C. liczba kupionych biletów i zapłacona kwota.

$$3x=18 \quad\Rightarrow\quad x=6$$

Odpowiedź: B. $6$.

Zużycie paliwa jest wprost proporcjonalne do przebytej drogi.

Krok 1 — proporcja:

$$\frac{6}{100}=\frac{x}{250}$$

Krok 2 — mnożymy na krzyż:

$$100x=1500 \quad\Rightarrow\quad x=15$$

Kontrola sensu: trasa jest $2{,}5$ raza dłuższa niż $100$ km, więc paliwa powinno pójść $2{,}5$ raza więcej: $2{,}5\cdot6=15$ l ✔

Odpowiedź: samochód zużyje $15$ litrów benzyny.

Krok 1 — w centymetrach:

$$12\cdot25\,000=300\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — na kilometry:

$$300\,000:100\,000=3\ \text{km}$$

Odpowiedź: $3$ km.

Krok 1 — całkowity nakład pracy (robotnikodni):

$$4\cdot6=24$$

Krok 2 — dzielimy przez liczbę robotników:

$$24:8=3\ \text{dni}$$

Uwaga. Więcej robotników → mniej dni — to proporcjonalność ODWROTNA (iloczyn stały, nie iloraz).

Odpowiedź: $3$ dni.

Podstawowa własność proporcji mówi, że iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi wyrazów środkowych.

W zapisie $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ skrajne to $a$ i $d$, a środkowe to $b$ i $c$:

$$a\cdot d=b\cdot c$$

Sprawdźmy na liczbach dla $\frac24=\frac36$:

$$2\cdot6=12 \qquad \text{oraz} \qquad 4\cdot3=12$$

Zgadza się. Wariant A dałby $2\cdot3=6$ i $4\cdot6=24$ — nierówne.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — proporcja:

$$\frac{300}{6}=\frac{x}{15}$$

Krok 2 — rozwiązanie:

$$6x=4500 \quad\Rightarrow\quad x=750\ \text{g}$$

Kontrola metodą jednostkową: na osobę przypada $50$ g, a $15\cdot50=750$ g ✔

Odpowiedź: $750$ g mąki.

Krok 1 — części: $1+4=5$.

Krok 2 — jedna część: $100:5=20$ zł.

Krok 3 — podział:

$$1\cdot20=20\ \text{zł},\qquad 4\cdot20=80\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $20$ zł i $80$ zł.

Krok 1 — łączna liczba części. Zaprawa składa się z $1$ części cementu i $4$ części piasku:

$$1+4=5$$

Krok 2 — masa jednej części:

$$60:5=12\ \text{kg}$$

Krok 3 — masa cementu to jedna część:

$$1\cdot12=12\ \text{kg}$$

Częsty błąd: podzielenie $60$ przez $4$ zamiast przez $5$. Stosunek $1:4$ oznacza $5$ części całości, a nie $4$.

Sprawdzenie: piasku będzie $4\cdot12=48$ kg, a razem $12+48=60$ kg ✔

Odpowiedź: potrzeba $12$ kg cementu.

Krok 1 — obie długości w tych samych jednostkach:

$$4\ \text{km}=400\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — stosunek:

$$\frac{8}{400\,000}=\frac{1}{50\,000}$$

Odpowiedź: B. $1:50\,000$.

Sprawdzamy A: $2\cdot6=12$, $3\cdot4=12$ — równe, proporcja prawdziwa.

Odpowiedź: A. $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$.

Liczba kosiarek i czas pracy są odwrotnie proporcjonalne — ich iloczyn jest stały.

Krok 1 — całkowity nakład pracy:

$$8\cdot6=48\ \text{godzin pracy kosiarki}$$

Krok 2 — dzielimy przez nową liczbę kosiarek:

$$48:4=12\ \text{godzin}$$

Kontrola sensu: kosiarek jest dwa razy mniej, więc czas powinien być dwa razy dłuższy: $2\cdot6=12$ h ✔

Odpowiedź: $4$ kosiarki skoszą trawnik w $12$ godzin.

Krok 1 — liczba części:

$$1+4+5=10$$

Krok 2 — jedna część:

$$180^\circ:10=18^\circ$$

Krok 3 — kąty:

$$18^\circ,\qquad 72^\circ,\qquad 90^\circ$$

Sprawdzenie: $18+72+90=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $18^\circ$, $72^\circ$, $90^\circ$ — trójkąt prostokątny.

Krok 1 — proporcja (ilość mąki proporcjonalna do liczby osób):

$$\frac{200}{4}=\frac{x}{10}$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$4x=2000 \quad\Rightarrow\quad x=500\ \text{g}$$

Odpowiedź: $500$ g mąki.

Przy proporcjonalności odwrotnej stały jest iloczyn:

$$x\cdot y=\text{const}=3\cdot20=60$$

Obliczamy nową wartość:

$$12\cdot y=60 \quad\Rightarrow\quad y=5$$

Kontrola sensu: $x$ wzrosło czterokrotnie ($3\to12$), więc $y$ musi zmaleć czterokrotnie: $20:4=5$ ✔

Pułapka: odpowiedź A ($80$) to wynik potraktowania wielkości jako wprost proporcjonalnych.

Odpowiedź: C. $y=5$.

Zamiana miejscami licznika i mianownika daje odwrotność ułamka:

$$\frac{b}{a}=\frac73$$

Sprawdzenie: $\frac37\cdot\frac73=1$ ✔ — iloczyn liczby i jej odwrotności zawsze wynosi $1$.

Odpowiedź: A. $\frac73$.

Na $3$ części chłopców przypada $15$, więc jedna część to $5$. Dziewcząt jest $2$ części: $2\cdot5=10$.

Odpowiedź: C. $10$.

Krok 1 — stosunek wkładów. Dzielimy wszystkie kwoty przez $1000$:

$$5:8:12$$

Krok 2 — łączna liczba części:

$$5+8+12=25$$

Krok 3 — wartość jednej części:

$$12\,500:25=500\ \text{zł}$$

Krok 4 — udziały poszczególnych wspólników:

$$5\cdot500=2500\ \text{zł},\qquad 8\cdot500=4000\ \text{zł},\qquad 12\cdot500=6000\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $2500+4000+6000=12\,500$ zł ✔

Odpowiedź: wspólnicy otrzymali $2500$ zł, $4000$ zł i $6000$ zł.

Krok 1 — liczba części:

$$2+3+7=12$$

Krok 2 — jedna część:

$$1200:12=100\ \text{m}^2$$

Krok 3 — podział w metrach kwadratowych:

$$200\ \text{m}^2,\qquad 300\ \text{m}^2,\qquad 700\ \text{m}^2$$

Krok 4 — zamiana na ary ($1$ ar $=100$ m$^2$):

$$2\ \text{ary},\qquad 3\ \text{ary},\qquad 7\ \text{arów}$$

Ładna obserwacja: skoro jedna część wyszła równo $1$ ar, liczby arów pokrywają się ze stosunkiem podziału.

Odpowiedź: $2$, $3$ i $7$ arów.

Krok 1 — liczba części: $2+3+2=7$.

Krok 2 — jedna część: $84:7=12$.

Krok 3 — rozdzielamy:

$$2\cdot12=24,\qquad 3\cdot12=36,\qquad 2\cdot12=24$$

Sprawdzenie: $24+36+24=84$ ✔

Odpowiedź: $24$, $36$ i $24$ cukierki.

Krok 1 — łączna liczba części:

$$4+5=9$$

Krok 2 — ilu uczniów przypada na jedną część:

$$27:9=3$$

Krok 3 — liczba chłopców to $5$ części:

$$5\cdot3=15$$

Sprawdzenie: dziewcząt jest $4\cdot3=12$, a razem $12+15=27$ ✔, przy czym $12:15$ po skróceniu przez $3$ daje $4:5$ ✔

Odpowiedź: w klasie jest $15$ chłopców.

Krok 1 — wymiary rzeczywiste:

$$4\cdot100=400\ \text{cm}=4\ \text{m}$$

$$3\cdot100=300\ \text{cm}=3\ \text{m}$$

Krok 2 — powierzchnia:

$$4\cdot3=12\ \text{m}^2$$

Uwaga na pole. Powierzchnia na planie to $4\cdot3=12$ cm$^2$, a rzeczywista $12$ m$^2$ — czyli $120\,000$ cm$^2$. Stosunek pól wynosi $100^2=10\,000$, a nie $100$. Pole zmienia się jak kwadrat skali.

Odpowiedź: $4$ m na $3$ m, powierzchnia $12$ m$^2$.

Krok 1 — mnożymy na krzyż:

$$4(x+1)=6x$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$4x+4=6x \quad\Rightarrow\quad 4=2x \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Sprawdzenie: $\frac{3}{6}=\frac{2}{4}=\frac12$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

Liczba koni i liczba dni są odwrotnie proporcjonalne — zapas jest stały.

Krok 1 — całkowity zapas wyrażony w porcjach dziennych:

$$30\cdot24=720\ \text{porcji}$$

Krok 2 — dzielimy przez nową liczbę koni:

$$720:40=18\ \text{dni}$$

Kontrola sensu: koni jest więcej, więc zapas musi wystarczyć na krócej niż $24$ dni ✔

Sposób alternatywny — przez proporcję odwrotną:

$$\frac{30}{40}=\frac{x}{24} \quad\Rightarrow\quad 40x=720 \quad\Rightarrow\quad x=18$$

Uwaga: przy proporcjonalności odwrotnej jedną z proporcji zapisujemy „na odwrót”.

Odpowiedź: zapas wystarczy na $18$ dni.

Krok 1 — rozpoznanie zależności. Im więcej malarzy, tym krócej — to proporcjonalność odwrotna. Stała jest łączna praca:

$$4\cdot9=36\ \text{dniówek}$$

Krok 2 — czas dla sześciu:

$$36:6=6\ \text{dni}$$

Kontrola sensu: więcej ludzi, więc czas musi się skrócić — i faktycznie $6<9$ ✔ Gdybyśmy zastosowali proporcję wprost, wyszłoby $13{,}5$ dnia, czyli wynik oczywiście błędny.

Odpowiedź: $6$ dni.

Krok 1 — części: $1+2+4=7$.

Krok 2 — jedna część: $210:7=30$ kg.

Krok 3 — składniki:

$$\text{cement: }1\cdot30=30\ \text{kg}$$

$$\text{piasek: }2\cdot30=60\ \text{kg}$$

$$\text{żwir: }4\cdot30=120\ \text{kg}$$

Sprawdzenie: $30+60+120=210$ ✔

Odpowiedź: $30$ kg, $60$ kg, $120$ kg.

Krok 1 — od obwodu do sumy dwóch sąsiednich boków:

$$2(a+b)=84 \quad\Rightarrow\quad a+b=42\ \text{cm}$$

Krok 2 — dzielimy $42$ cm w stosunku $3:4$. Łączna liczba części to $3+4=7$:

$$42:7=6\ \text{cm na część}$$

Krok 3 — wymiary:

$$a=3\cdot6=18\ \text{cm},\qquad b=4\cdot6=24\ \text{cm}$$

Krok 4 — pole:

$$P=18\cdot24=432\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie obwodu: $2(18+24)=2\cdot42=84$ cm ✔

Częsty błąd: dzielenie w danym stosunku całego obwodu zamiast sumy dwóch sąsiednich boków — dałoby to boki dwa razy za duże.

Odpowiedź: boki mają $18$ cm i $24$ cm, a pole wynosi $432$ cm$^2$.

Krok 1 — liczba części:

$$7+3=10$$

Krok 2 — jedna część:

$$45:10=4{,}5\ \text{kg}$$

Krok 3 — masy metali:

$$\text{miedź: } 7\cdot4{,}5=31{,}5\ \text{kg}$$

$$\text{cynk: } 3\cdot4{,}5=13{,}5\ \text{kg}$$

Krok 4 — procent cynku:

$$\frac{13{,}5}{45}=0{,}3=30\%$$

Skrót: cynk to $3$ z $10$ części, czyli od razu $30\%$ — przy stosunku sumującym się do $10$ części procenty odczytuje się wprost.

Odpowiedź: miedź $31{,}5$ kg, cynk $13{,}5$ kg, czyli $30\%$ stopu.

Krok 1 — rozbijamy lewą stronę:

$$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1$$

Krok 2 — tak samo prawą:

$$\frac{c+d}{d}=\frac{c}{d}+1$$

Krok 3 — korzystamy z założenia $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Zatem:

$$\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1 \quad\Rightarrow\quad \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d} \qquad ∎$$

Sprawdzenie dla $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$: $\frac{5}{3}$ i $\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$ ✔