Klasa 7 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Co robi: zapisuje bardzo duże i bardzo małe liczby w zwięzłej, czytelnej postaci.
Elementy: $a$ — liczba z przedziału $[1, 10)$ (jedna cyfra przed przecinkiem), $n$ — wykładnik całkowity. Dodatnie $n$ oznacza liczbę dużą, ujemne — małą.
Przykład: $7\,500\,000 = 7{,}5 \cdot 10^6$; $0{,}00042 = 4{,}2 \cdot 10^{-4}$.
Pułapka: $a$ musi być mniejsze od 10. Zapis $75 \cdot 10^5$ jest liczbowo poprawny, ale nie jest notacją wykładniczą — trzeba go poprawić na $7{,}5 \cdot 10^6$.
Co robi: pozwala upraszczać wyrażenia z potęgami bez wyliczania wielkich liczb.
Elementy: $a$, $b$ to podstawy, $m$, $n$ — wykładniki. Wzór $a^0=1$ obowiązuje dla $a\neq0$.
Kluczowy warunek: dwie pierwsze reguły działają wyłącznie dla tej samej podstawy. Podstawa nigdy się nie zmienia: $2^3\cdot2^4=2^7$, a nie $4^7$.
Przykład złożony: $\frac{9^3\cdot3^2}{27^2}=\frac{3^6\cdot3^2}{3^6}=3^2=9$ — najpierw sprowadzamy wszystko do wspólnej podstawy.
Skąd $a^0=1$: z reguły dzielenia $\frac{a^n}{a^n}=a^0$, a liczba podzielona przez samą siebie daje $1$.
Pułapka: przy iloczynie wykładniki się dodają, przy potędze potęgi mnożą. Zapisy $2^3\cdot2^2=32$ i $\left(2^3\right)^2=64$ wyglądają podobnie, a dają różne wyniki. Uważaj też na nawias: $-3^4=-81$, ale $(-3)^4=81$.
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$
$$a^m:a^n=a^{m-n}$$
$$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$$
$$(ab)^n=a^n b^n,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$
Kluczowy warunek: dwie pierwsze reguły działają tylko dla tej samej podstawy. Podstawa nigdy się nie zmienia — $2^3\cdot2^4=2^7$, a nie $4^7$.
Przy iloczynie wykładniki dodajemy, przy potędze potęgi — mnożymy:
$$2^3\cdot2^2=2^5=32,\qquad \left(2^3\right)^2=2^6=64$$
Te dwa zapisy wyglądają podobnie, a dają różne wyniki.
$$a^0=1 \quad \text{dla } a\neq0$$
Wynika to wprost z reguły dzielenia: $\frac{a^n}{a^n}=a^0$, a przecież liczba podzielona przez samą siebie daje $1$.
Wykładnik parzysty daje wynik dodatni, nieparzysty — ujemny:
$$(-3)^4=81,\qquad (-3)^3=-27$$
Uwaga na nawias: $-3^4$ oznacza $-(3^4)=-81$, a $(-3)^4=81$. Bez nawiasu minus nie wchodzi pod potęgę.
To niemal zawsze pierwszy krok w trudniejszych zadaniach:
$$\frac{9^3\cdot3^2}{27^2}=\frac{\left(3^2\right)^3\cdot3^2}{\left(3^3\right)^2}=\frac{3^8}{3^6}=3^2=9$$
Dopiero po zapisaniu wszystkiego jako potęgi trójki reguły stają się użyteczne.
$$\sqrt[3]{a}=b \iff b^3=a$$
$$\sqrt[3]{27}=3,\qquad \sqrt[3]{64}=4,\qquad \sqrt[3]{125}=5,\qquad \sqrt[3]{1000}=10$$
Istotna różnica względem pierwiastka kwadratowego: pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje, bo trzecia potęga liczby ujemnej jest ujemna:
$$\sqrt[3]{-8}=-2$$
$$\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab},\qquad \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$$
Przykład: $\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}=2\cdot3=6$ oraz $\sqrt[3]{216}=6$ ✔
Objętość sześcianu to $V=a^3$, więc krawędź odzyskujemy pierwiastkiem sześciennym: $a=\sqrt[3]{V}$. Dla $V=1000$ cm³ krawędź wynosi $10$ cm, a pole powierzchni $6\cdot100=600$ cm².
Nie mnóż podstaw przy mnożeniu potęg. Nie myl $-a^n$ z $(-a)^n$. I pamiętaj, że $(2x)^2=4x^2$ — do kwadratu podnosimy również współczynnik.
Ile wynosi $2^6$?
Ile wynosi $2^3\cdot2^4$?
Oblicz $3^4\cdot3^2$, korzystając z własności potęg.
Zapisz w postaci jednej potęgi: $5^8:5^3$.
Oblicz $\frac{5^7}{5^4}$.
Oblicz $\sqrt[3]{27}$ oraz $\sqrt[3]{125}$.
Oblicz $(2^3)^2$.
Ile wynosi $\sqrt[3]{-8}$?
Oblicz $\sqrt{81}$ oraz $\sqrt{144}$.
Zapisz w postaci jednej potęgi: $3^2\cdot3^5\cdot3$.
Zapisz liczbę $3\,200\,000$ w notacji wykładniczej.
Ile wynosi $\left(2^3\right)^2$?
Uprość $\sqrt{200}$.
Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{2^{10}}{2^{7}}+\sqrt[3]{64}$.
Oblicz $2^{10}:2^7$.
Zapisz w postaci jednej potęgi: $\dfrac{7^{5}\cdot7^{4}}{7^{6}}$.
Oblicz $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$.
Ile wynosi $10^0$?
Oblicz $3\sqrt5+2\sqrt5-\sqrt5$.
Oblicz objętość sześcianu o krawędzi $4$ cm, a następnie krawędź sześcianu o objętości $216$ cm³.
Ile wynosi $10^0$?
Ile wynosi $(-3)^4$?
Oblicz $\sqrt{49}+\sqrt{9}\cdot\sqrt{4}$.
Oblicz $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3$ oraz $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4$.
Zapisz w notacji wykładniczej i oblicz $(2\cdot10^3)\cdot(3\cdot10^4)$.
Zapisz jako potęgę liczby $2$: $8\cdot16$.
Między którymi liczbami całkowitymi leży $\sqrt{50}$?
Która liczba jest największa?
Oblicz $\sqrt{72}-\sqrt{18}$.
Oblicz: $\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}$. Porównaj wynik z $\sqrt[3]{8\cdot27}$.
Ile wynosi $(3^2)^3$?
Ile wynosi $\dfrac{6^5}{6^5}$?
Masa Ziemi to około $6\cdot10^{24}$ kg, a masa Księżyca $7{,}4\cdot10^{22}$ kg. Ile razy Ziemia jest cięższa (podaj przybliżenie)?
Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{9^3\cdot3^2}{27^2}$, sprowadzając wszystko do potęgi liczby $3$.
Oblicz $\left(\frac{2}{3}\right)^3$.
Sześcian ma objętość $1000$ cm³. Oblicz jego krawędź i pole powierzchni całkowitej.
Kwadrat ma pole $50$ cm$^2$. Oblicz długość jego boku i przekątnej w postaci pierwiastków.
Uporządkuj rosnąco: $2^{10}$, $10^3$, $4^5$, $3^6$.
Oblicz wartość wyrażenia $\frac{4^5\cdot4^3}{4^6}$.
Wykaż, że liczba $2^{12}$ jest kwadratem pewnej liczby naturalnej i jednocześnie sześcianem pewnej liczby naturalnej. Podaj obie podstawy.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.