Pierwiastek kwadratowy

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy:

$$2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7=128$$

Odpowiedź: B. Odpowiedź A to efekt mnożenia wykładników — częsty błąd.

$$2^6=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=64$$

Potęgi dwójki warto znać: $2^5=32$, $2^6=64$, $2^7=128$.

Odpowiedź: B. $64$.

Szukamy liczby, której kwadrat to $49$:

$$\sqrt{49}=7 \quad (\text{bo } 7^2=49)$$

Odpowiedź: B. $7$.

Dzielenie — wykładniki odejmujemy:

$$\frac{5^6}{5^4}=5^{6-4}=5^2=25$$

Potęga potęgi — wykładniki mnożymy:

$$(3^2)^3=3^{2\cdot3}=3^6=729$$

Odpowiedź: $5^2$ oraz $3^6$.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki:

$$3^4\cdot3^2=3^{4+2}=3^6=729$$

Odpowiedź: $3^6=729$.

$$\sqrt{81}=9 \quad (9^2=81)$$

Odpowiedź: $9$.

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a nie liczbę ujemną:

$$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$$

Odpowiedź: D. Wynik potęgi o dodatniej podstawie zawsze jest dodatni.

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:

$$\frac{5^7}{5^4}=5^{7-4}=5^3=125$$

Odpowiedź: $5^3=125$.

$$\sqrt{100}+\sqrt{25}=10+5=15$$

Odpowiedź: $15$.

Ujemny wykładnik odwraca ułamek:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}=2\frac14$$

Odpowiedź: $\frac94$.

Przy potędze potęgi mnożymy wykładniki:

$$(2^3)^2=2^{3\cdot2}=2^6=64$$

Uwaga: przy potędze potęgi wykładniki mnożymy, a nie dodajemy — to odróżnia od zwykłego mnożenia potęg.

Odpowiedź: C. $64$.

Podniesienie pierwiastka do kwadratu „znosi” pierwiastek:

$$(\sqrt5)^2=5$$

Odpowiedź: A. $5$.

Szukamy liczby, której kwadrat daje $144$:

$$12^2=144 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{144}=12$$

Odpowiedź: A.

Szukamy liczb, których kwadraty dają dane wartości:

$$\sqrt{81}=9 \quad (\text{bo } 9^2=81)$$

$$\sqrt{144}=12 \quad (\text{bo } 12^2=144)$$

Odpowiedź: $9$ oraz $12$.

Sposób 1 — osobno: $2\cdot3=6$.

Sposób 2 — wzór $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$:

$$\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}=\sqrt{36}=6$$

Odpowiedź: $6$.

Szukamy największego kwadratu w liczbie $72$:

$$72=36\cdot2$$

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}$$

Odpowiedź: $6\sqrt2\approx8{,}49$.

Wskazówka: gdyby wyłączyć tylko $4$, otrzymalibyśmy $2\sqrt{18}$ — poprawnie, ale nie do końca uproszczone.

W notacji wykładniczej pierwszy czynnik musi mieścić się w przedziale od $1$ do $10$.

Przesuwamy przecinek o $6$ miejsc w lewo:

$$3\,200\,000=3{,}2\cdot10^6$$

Uwaga: $32\cdot10^5$ i $0{,}32\cdot10^7$ mają dobrą wartość, ale zły pierwszy czynnik — nie jest z przedziału $\langle 1,\,10)$.

Odpowiedź: A. $3{,}2\cdot10^6$.

$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$$

Odpowiedź: C. $4$.

$$\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7$$

Odpowiedź: C.

Uwaga: $\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ to inne wyrażenie. Pierwiastek z sumy nie równa się sumie pierwiastków.

Szukamy największego kwadratu ukrytego w $200$:

$$200=100\cdot2$$

$$\sqrt{200}=\sqrt{100}\cdot\sqrt2=10\sqrt2$$

Odpowiedź: $10\sqrt2$.

Krok 1 — rozkładamy na czynnik z kwadratem:

$$12=4\cdot3$$

Krok 2 — wyłączamy:

$$\sqrt{12}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{3}=2\sqrt3$$

Odpowiedź: $2\sqrt3$.

Korzystamy z własności $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$:

$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$$

Oraz $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$:

$$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3$$

Odpowiedź: $4$ oraz $3$.

Odejmujemy wykładniki:

$$2^{10}:2^7=2^{10-7}=2^3=8$$

Sprawdzenie sensu: $2^{10}=1024$, $2^7=128$, a $1024:128=8$ ✔

Odpowiedź: $8$.

Wzór $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$:

$$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5$$

Odpowiedź: $5$.

$$3^3=27 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{27}=3$$

$$(-2)^3=-8 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{-8}=-2$$

Odpowiedź: $3$ oraz $-2$.

Różnica: pierwiastek sześcienny można wyciągać z liczb ujemnych, a kwadratowy nie.

Iloczyn pierwiastków to pierwiastek iloczynu:

$$\sqrt2\cdot\sqrt8=\sqrt{2\cdot8}=\sqrt{16}=4$$

Ciekawostka: mnożenie dwóch liczb niewymiernych dało liczbę wymierną.

Odpowiedź: D. $4$.

$$\sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad (0{,}5^2=0{,}25)$$

Odpowiedź: D. $0{,}5$.

W notacji wykładniczej liczba przed potęgą musi spełniać $1\le a<10$:

$$7\,500\,000=7{,}5\cdot10^6$$

Odpowiedź: A. Zapisy B i C są liczbowo poprawne, ale nie są notacją wykładniczą.

Wyrażenia z tym samym pierwiastkiem traktujemy jak wyrazy podobne:

$$(3+2-1)\sqrt5=4\sqrt5$$

Uwaga: $\sqrt5$ ma domyślny współczynnik $1$, więc odejmujemy $1$.

Odpowiedź: $4\sqrt5$.

Traktujemy $\sqrt2$ jak wspólny „składnik” — dodajemy współczynniki:

$$3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2$$

Odpowiedź: $8\sqrt2$.

Przesuwamy przecinek o $4$ miejsca w prawo, co kompensujemy ujemnym wykładnikiem:

$$0{,}00042=4{,}2\cdot10^{-4}$$

Odpowiedź: $4{,}2\cdot10^{-4}$.

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje $1$:

$$10^0=1$$

Dlaczego: ze wzoru $\frac{10^n}{10^n}=10^{n-n}=10^0$, a jednocześnie $\frac{10^n}{10^n}=1$.

Odpowiedź: B. $1$.

$$\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7$$

Uwaga: $\sqrt{16}+\sqrt{9}\neq\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$! Pierwiastek z sumy to NIE suma pierwiastków.

Odpowiedź: A. $7$.

Mnożymy osobno liczby i osobno potęgi dziesiątki:

$$(3\cdot2)\cdot(10^4\cdot10^3)=6\cdot10^{7}$$

Odpowiedź: $6\cdot10^7$, czyli $60\,000\,000$.

Kolejność działań: najpierw mnożenie pierwiastków, potem dodawanie.

$$\sqrt9\cdot\sqrt4=3\cdot2=6$$

$$\sqrt{49}+6=7+6=13$$

Odpowiedź: $13$.

$$50=25\cdot2$$

$$\sqrt{50}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt2$$

Odpowiedź: $5\sqrt2$.

$$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$$

Odpowiedź: $5$.

Reguła ogólna: $\sqrt{a^2}=|a|$, a nie $a$. Pierwiastek kwadratowy zawsze daje wynik nieujemny.

Krok 1 — grupujemy osobno liczby i osobno potęgi:

$$(2\cdot3)\cdot(10^3\cdot10^4)=6\cdot10^{3+4}=6\cdot10^7$$

Krok 2 — wartość liczbowa:

$$6\cdot10^7=60\,000\,000$$

Odpowiedź: $6\cdot10^7=60\,000\,000$.

Podnosimy do kwadratu oba czynniki:

$$(2\sqrt3)^2=2^2\cdot(\sqrt3)^2=4\cdot3=12$$

Odpowiedź: $12$.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy:

$$a^2\cdot a^4=a^{2+4}=a^6$$

Odpowiedź: B.

Dlaczego pozostałe są błędne: $a^3+a^3=2a^3$ (dodawanie, nie mnożenie), $(a^2)^2=a^4$, a $3a^2$ to zupełnie inne wyrażenie.

Szukamy sąsiednich kwadratów:

$$7^2=49<50<64=8^2$$

Zatem $7<\sqrt{50}<8$, dokładniej $\sqrt{50}\approx7{,}07$.

Odpowiedź: C. $7$ i $8$.

$\sqrt2\approx1{,}41421...$ — rozwinięcie nieskończone nieokresowe, więc liczba niewymierna.

Odpowiedź: B. niewymierna.

$$0{,}25=\frac14 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{0{,}25}=\frac12=0{,}5$$

$$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt9}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4}$$

Odpowiedź: $0{,}5$ oraz $\frac34$.

Krok 1 — upraszczamy oba pierwiastki:

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$$

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2$$

Krok 2 — odejmujemy (ten sam pierwiastek $\sqrt2$):

$$6\sqrt2-3\sqrt2=3\sqrt2$$

Kluczowe: pierwiastki trzeba najpierw uprościć — dopiero wtedy mają wspólny „czynnik” $\sqrt2$, który pozwala je odjąć.

Odpowiedź: $3\sqrt2$.

Krok 1 — mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt3$:

$$\frac{6}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}$$

Krok 2 — skracamy:

$$\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$$

Odpowiedź: $2\sqrt3$.

Krok 1 — uprość ostatni składnik:

$$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt2$$

Krok 2 — redukcja wyrazów podobnych. Wszystkie mają teraz $\sqrt2$:

$$3\sqrt2+5\sqrt2-2\sqrt2=(3+5-2)\sqrt2=6\sqrt2$$

Odpowiedź: $6\sqrt2$.

Zasada: pierwiastki dodajemy tak jak wyrazy podobne — tylko gdy liczba pod pierwiastkiem jest identyczna.

Mnożymy wykładniki:

$$(3^2)^3=3^{2\cdot3}=3^6=729$$

Sprawdzenie: $3^2=9$, a $9^3=729$ ✔

Odpowiedź: A. $729$.

$$\sqrt{144}=12 \quad (12^2=144)$$

Odpowiedź: C. $12$.

Bok — z pola $P=a^2$:

$$a=\sqrt{49}=7\ \text{cm}$$

Obwód:

$$Ob=4\cdot7=28\ \text{cm}$$

Odpowiedź: bok $7$ cm, obwód $28$ cm.

Dzielimy masy, grupując osobno liczby i osobno potęgi:

$$\frac{6\cdot10^{24}}{7{,}4\cdot10^{22}}=\frac{6}{7{,}4}\cdot10^{24-22}\approx0{,}81\cdot10^2=81$$

Interpretacja: notacja wykładnicza pozwala łatwo porównywać bardzo duże liczby — odejmujemy tylko wykładniki, zamiast dzielić wielocyfrowe liczby.

Odpowiedź: Ziemia jest około $81$ razy cięższa od Księżyca.

Krok 1 — wyłączamy czynniki:

$$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt2$$

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2$$

Krok 2 — dodajemy (ten sam pierwiastek $\sqrt2$):

$$2\sqrt2+3\sqrt2=5\sqrt2$$

Odpowiedź: $5\sqrt2$.

Dzielimy masy, rozbijając na liczby i potęgi:

$$\frac{6\cdot10^{24}}{7{,}2\cdot10^{22}}=\frac{6}{7{,}2}\cdot10^{24-22}$$

$$\approx0{,}833\cdot10^2=83{,}3$$

Odpowiedź: około $83$ razy.

Podnosimy do potęgi osobno licznik i mianownik:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$$

Uwaga: wykładnik dotyczy całego ułamka — obu jego części.

Odpowiedź: $\frac{8}{27}$.

Krok 1 — bok to pierwiastek z pola:

$$a=\sqrt{18}$$

Krok 2 — wyłączamy czynnik:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2$$

Odpowiedź: $a=3\sqrt2$.

Krok 1 — licznik:

$$2^5\cdot2^3=2^{8}$$

Krok 2 — dzielenie:

$$\frac{2^8}{2^6}=2^{8-6}=2^2=4$$

Odpowiedź: $4$.

Wskazówka: działanie na wykładnikach jest dużo szybsze niż obliczanie $\frac{32\cdot8}{64}$.

Krok 1 — bok kwadratu:

$$a=\sqrt{50}=5\sqrt2\ \text{cm}$$

Krok 2 — przekątna (wzór $d=a\sqrt2$):

$$d=5\sqrt2\cdot\sqrt2=5\cdot2=10\ \text{cm}$$

Ciekawostka: choć bok jest niewymierny, przekątna wychodzi równa dokładnie $10$ cm — iloczyn $\sqrt2\cdot\sqrt2$ daje $2$.

Odpowiedź: bok $5\sqrt2$ cm, przekątna $10$ cm.

Krok 1 — rozpoznajemy różnicę kwadratów:

$$(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)=(\sqrt5)^2-2^2$$

Krok 2 — obliczamy:

$$=5-4=1$$

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — uprość każdy pierwiastek:

$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2$$

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2$$

Krok 2 — odejmowanie wyrazów podobnych:

$$5\sqrt2-3\sqrt2=(5-3)\sqrt2=2\sqrt2$$

Wniosek: $\sqrt{50}-\sqrt{18}=2\sqrt2$. ∎

Uwaga: nie wolno napisać $\sqrt{50}-\sqrt{18}=\sqrt{50-18}=\sqrt{32}$ — to dałoby $4\sqrt2$, czyli wynik błędny.

Krok 1 — licznik. Mnożenie potęg — dodajemy wykładniki:

$$4^5\cdot4^3=4^{5+3}=4^8$$

Krok 2 — dzielenie przez mianownik — odejmujemy wykładniki:

$$\frac{4^8}{4^6}=4^{8-6}=4^2=16$$

Reguła zbiorcza: $\frac{4^5\cdot4^3}{4^6}=4^{5+3-6}=4^2=16$ — najpierw dodajemy wykładniki z licznika, potem odejmujemy wykładnik mianownika.

Odpowiedź: $16$.

Krok 1 — definicja pierwiastka. $\sqrt{a^2}$ to nieujemna liczba, której kwadrat daje $a^2$.

Krok 2 — dwa przypadki. Jeśli $a\ge0$, to $\sqrt{a^2}=a$; jeśli $a<0$, to $\sqrt{a^2}=-a>0$. W obu przypadkach wynik to wartość bezwzględna:

$$\sqrt{a^2}=|a| \qquad ∎$$

Krok 3 — zastosowanie:

$$\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$$

Uwaga. Częsty błąd: $\sqrt{(-5)^2}\neq-5$ — pierwiastek jest zawsze nieujemny.

Odpowiedź: $\sqrt{a^2}=|a|$, więc $\sqrt{(-5)^2}=5$.

Rozwiązanie

1. $K=\tfrac19\cdot\tfrac14-\tfrac{1}{16}\cdot\tfrac13=\tfrac{1}{36}-\tfrac{1}{48}=\tfrac{4-3}{144}=\tfrac{1}{144}>0$ → 1) F.
2. $L=9\cdot4-16\cdot3=36-48=-12$. Czy $-12>\tfrac{1}{144}$? Nie → 2) F.

Odpowiedź: FF