Obliczenia procentowe — powtórzenie
Klasa 7 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 31
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Podczas Dnia Sportu w pewnej szkole rozegrano trzy turnieje sportowe. Każde dziecko, które było uczestnikiem tego Dnia Sportu, wzięło udział w dokładnie jednym turnieju sportowym. Łączna liczba dziewcząt była o 8 większa od łącznej liczby chłopców uczestniczących w tym Dniu Sportu.
| Turniej piłki nożnej | Turniej tańca | Turniej tenisa stołowego | |
|---|---|---|---|
| Liczba dziewcząt | 15 | 65 | ? |
| Liczba chłopców | 46 | 16 | 34 |
Oblicz, ile procent liczby wszystkich uczestników Dnia Sportu stanowi liczba dzieci, które brały udział w turnieju tenisa stołowego. Zapisz obliczenia.
| Rodzaj opakowania | Masa truskawek w opakowaniu | Cena opakowania z truskawkami |
|---|---|---|
| duże | \(1\) kg | \(18\) zł |
| średnie | \(0{,}5\) kg | \(10\) zł |
| małe | \(0{,}25\) kg | \(6\) zł |
Oblicz, jaką kwotę otrzymał pan Jan ze sprzedaży wszystkich truskawek. Zapisz obliczenia.
Czy dla klienta kupującego \(120 dag\) czekolady bardziej opłacalna jest promocja II niż I?
Wybierz odpowiedź Tak albo Nie i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3. A) w promocji I masa czekolady wzrośnie o \(4 dag\), natomiast w promocji II masa się nie zmieni.
B) w promocji II \(1 dag\) czekolady kosztuje mniej niż w promocji I.
C) w promocji II trzeba kupić \(6\) czekolad, natomiast w promocji I - tylko \(5\).
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
W 2016 roku podstawa obliczenia podatku dla pana Jana wyniosła \(84 500 zł\). Wysokość podatku (w zł) od dochodu pana Jana opisuje wyrażenie \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\) W 2016 roku podstawa obliczenia podatku dla pani Zofii wyniosła \(97 300 zł\). Wysokość podatku (w zł) od dochodu pani Zofii opisuje wyrażenie \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\)
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Przed tymi dwoma obniżkami laptop kosztował \(3000zł\).
Po obu obniżkach cena laptopa stanowi \(85\%\) ceny początkowej.
Przed tymi dwoma obniżkami laptop kosztował \(3000zł\).
Po obu obniżkach cena laptopa stanowi \(85\%\) ceny początkowej.
Wybierz odpowiedź T albo N i jej uzasadnienie spośród A, B albo C. A) \(\frac{18}{100}\) to więcej niż \(\frac{15}{100}\)
B) \(1\%\) liczby \(15\) to mniej niż \(1\%\) liczby \(18\)
C) \(0,18\cdot15\) to tyle samo co \(0,15\cdot18\)
Za dodatki użyte do wykonania bukietu dolicza się \(20\%\) wartości kwiatów, z których wykonano ten bukiet. Ile zapłaci tego dnia klient za bukiet złożony z \(3\) tulipanów, \(2\) róż i \(5\) goździków? Zapisz obliczenia.
\(20\%\) liczby \(36\) to tyle samo, co \(40\%\) liczby \(18\).
\(120\%\) liczby \(180\) to tyle samo, co \(180\%\) liczby \(120\).
\(20\%\) liczby \(36\) to tyle samo, co \(40\%\) liczby \(18\).
Liczba \(2,7\) jest o \(10\%\) większa od liczby \(2\frac{2}{3}\).
\(60\%\) liczby \(4,5\) wynosi tyle samo, co \(\frac{2}{3}\) liczby \(4,05\).
Liczba \(2,7\) jest o \(10\%\) większa od liczby \(2\frac{2}{3}\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Uczestnik konkursu, który zdobył trzecie miejsce, otrzymał \(1400zł\).
Nagroda za zdobycie trzeciego miejsca była o \(70\%\) mniejsza od nagrody za zajęcie pierwszego miejsca.
Uczestnik konkursu, który zdobył trzecie miejsce, otrzymał \(1400zł\).
Nagroda za zdobycie trzeciego miejsca była o \(70\%\) mniejsza od nagrody za zajęcie pierwszego miejsca.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Jeżeli cena netto \(1kg\) jabłek jest równa \(2,50zł\), a cena brutto jest równa \(2,70zł\), to podatek VAT wynosi \(8\%\) od ceny netto.
Jeżeli cena netto podręcznika do matematyki jest równa \(22zł\), to cena tej książki z \(5\%\) podatkiem VAT wynosi \(24,10zł\).
Jeżeli cena netto \(1kg\) jabłek jest równa \(2,50zł\), a cena brutto jest równa \(2,70zł\), to podatek VAT wynosi \(8\%\) od ceny netto.
Jeżeli cena netto podręcznika do matematyki jest równa \(22zł\), to cena tej książki z \(5\%\) podatkiem VAT wynosi \(24,10zł\).
Wartość nieruchomości od momentu jej zakupienia do momentu sprzedaży:
Wojtek był w marcu codziennie jeden raz na pływalni i wykorzystał wszystkie ulgi promocyjne. Ile kosztowało go korzystanie z pływalni w marcu?
📘Teoria 3
Odsetki od lokaty
Bank dopisuje do wpłaconej kwoty odsetki liczone jako procent od kapitału:
$$\text{odsetki}=\text{kapitał}\cdot\frac{p}{100}$$
Przykład: od $2000$ zł przy $5\%$ rocznie odsetki wynoszą $0{,}05\cdot2000=100$ zł.
Podatek od zysku
Od odsetek pobierany jest podatek $19\%$. Zamiast liczyć podatek i odejmować, szybciej od razu policzyć, ile zostaje:
$$\text{do wypłaty}=\text{odsetki}\cdot0{,}81$$
Przykład: z $300$ zł odsetek zostaje $300\cdot0{,}81=243$ zł.
Kapitalizacja — odsetki od odsetek
Po dopisaniu odsetek do kapitału w kolejnym roku procent liczy się już od większej kwoty:
$$K_n=K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$
Przykład: $1000$ zł na $2$ lata przy $10\%$ daje $1000\cdot1{,}1^2=1210$ zł — o $10$ zł więcej niż przy prostym naliczaniu.
Podwyżka i obniżka
$$\text{po podwyżce o } p\%:\ a\cdot\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{po obniżce o } p\%:\ a\cdot\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$
Podwyżka o $10\%$ i następnie obniżka o $10\%$ nie wraca do ceny wyjściowej: $200\to220\to198$ zł, bo drugi procent liczymy od większej kwoty.
Szukanie kwoty sprzed zmiany
Jeśli po podwyżce o $20\%$ cena wynosi $360$ zł, to cena początkowa to:
$$360:1{,}2=300\ \text{zł}$$
Dzielimy, a nie odejmujemy $20\%$ od $360$ — to dałoby błędne $288$ zł.
Procent a punkt procentowy
To dwie różne miary tej samej zmiany:
- Punkty procentowe — zwykła różnica: z $4\%$ na $6\%$ to wzrost o $2$ punkty procentowe
- Procent zmiany — liczony względem wartości początkowej: $\frac{6-4}{4}=50\%$
Na co uważać
Zawsze sprawdzaj, od czego liczysz procent. Ta sama zmiana z $4\%$ na $6\%$ to jednocześnie $2$ punkty procentowe i aż $50\%$ wzrostu — obie odpowiedzi są poprawne, ale odpowiadają na inne pytania.
Trzy podstawowe pytania
- Ile to $p\%$ z $a$? $\ \to\ $ mnożymy: $a\cdot\frac{p}{100}$
- Jakim procentem $a$ jest $b$? $\ \to\ $ dzielimy: $\frac{b}{a}\cdot100\%$
- $b$ to $p\%$ pewnej liczby — jakiej? $\ \to\ $ dzielimy: $b:\frac{p}{100}$
Podwyżka i obniżka jednym mnożeniem
$$\text{wzrost o } p\%:\ a\cdot\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{spadek o } p\%:\ a\cdot\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$
Wzrost o $20\%$ to mnożenie przez $1{,}2$, spadek o $35\%$ — przez $0{,}65$.
Cena przed obniżką
Jeśli po obniżce o $30\%$ towar kosztuje $91$ zł, to $91$ stanowi $70\%$ ceny pełnej:
$$91:0{,}7=130\ \text{zł}$$
Częsty błąd to doliczenie $30\%$ do $91$ zł — daje $118{,}30$ zł, czyli wynik fałszywy, bo procent liczy się od innej podstawy.
Zmiany złożone
Przy dwóch zmianach po kolei mnożymy współczynniki, a nie dodajemy procenty:
$$+10\%,\ \text{potem} +10\%:\quad 1{,}1\cdot1{,}1=1{,}21 \ \text{(a nie } 1{,}2)$$
$$+50\%,\ \text{potem} -50\%:\quad 1{,}5\cdot0{,}5=0{,}75$$
Wzrost i taki sam procentowo spadek nigdy nie wracają do punktu wyjścia — drugi procent liczony jest od innej kwoty.
Punkty procentowe
Gdy porównujemy dwie wartości wyrażone w procentach, ich różnicę podajemy w punktach procentowych.
Frekwencja wzrosła z $54\%$ do $61\%$ — to wzrost o $7$ punktów procentowych. Wzrost względny to $\frac{7}{54}\approx13\%$. Obie liczby są poprawne, ale opisują co innego i nie wolno ich mylić.
VAT, marża i lokata
$$\text{brutto}=\text{netto}\cdot\left(1+\tfrac{VAT}{100}\right)$$
Marża doliczana do ceny zakupu działa tak samo jak podwyżka. Odsetki od lokaty za jeden rok to $K\cdot\frac{p}{100}$, a stan konta to $K\left(1+\frac{p}{100}\right)$.
Stężenie procentowe
$$C_p=\frac{m_{\text{substancji}}}{m_{\text{roztworu}}}\cdot100\%$$
W mianowniku jest masa całego roztworu, a nie samej wody. Dolewanie wody nie zmienia masy substancji — zmienia tylko mianownik.
Na co uważać
Zawsze ustal, od czego liczony jest procent. Ten sam procent od innej podstawy daje inną kwotę — to źródło większości błędów w zadaniach o rabatach, podwyżkach i stężeniach.
Odsetki od lokaty
Oprocentowanie zawsze podaje się w skali roku, nawet gdy lokata trwa krócej:
$$\text{odsetki}=\text{kapitał}\cdot\frac{p}{100}\cdot\frac{\text{liczba miesięcy}}{12}$$
Lokata półroczna na $6\%$ daje faktycznie $3\%$, kwartalna na $8\%$ — $2\%$.
Podatek od zysków kapitałowych
Bank pobiera $19\%$ od odsetek — nigdy od wpłaconego kapitału.
$$\text{odsetki netto}=\text{odsetki brutto}\cdot0{,}81$$
Przykład: $2000$ zł na $5\%$ daje $100$ zł odsetek, podatek to $19$ zł, więc na konto trafia $2081$ zł.
Cena netto i brutto
$$\text{brutto}=\text{netto}\cdot\left(1+\tfrac{\text{VAT}}{100}\right)$$
Przy stawce $23\%$ mnożnikiem jest $1{,}23$:
$$\text{netto}=\frac{\text{brutto}}{1{,}23}$$
Najczęstszy błąd przy VAT
Aby z ceny brutto $123$ zł otrzymać netto, dzielimy przez $1{,}23$ i dostajemy $100$ zł. Odjęcie $23\%$ od $123$ zł daje błędne $94{,}71$ zł — bo podatek liczony jest od netto, a nie od brutto.
Stawki VAT w Polsce
Podstawowa $23\%$, obniżone $8\%$ (m.in. usługi budowlane) i $5\%$ (książki, część żywności), a niektóre towary są zwolnione.
Porównywanie ofert
Oferty sprowadzamy do wspólnego okresu — zwykle do roku. Bank dający $1{,}2\%$ kwartalnie daje w roku $4{,}8\%$, czyli więcej niż konkurent z $4\%$ rocznie.
Przy porównaniach z podatkiem liczy się kwota po opodatkowaniu. Lokata $5\%$ obciążona podatkiem $19\%$ daje efektywnie $4{,}05\%$ — mniej niż zwolniona z podatku obligacja na $4{,}2\%$.
Zadania odwrotne
Gdy znamy odsetki po opodatkowaniu, cofamy się o dwa kroki. Kwota $81$ zł to $81\%$ odsetek brutto, więc brutto wynosiło $100$ zł, a przy kapitale $2000$ zł daje to oprocentowanie $5\%$.
Podatek od podatku
Przy paliwie VAT nalicza się od kwoty zawierającej już akcyzę. Dla ceny netto $4$ zł i akcyzy $1{,}50$ zł podstawą jest $5{,}50$ zł, a VAT wynosi $1{,}265$ zł — cena końcowa to około $6{,}77$ zł.
Na co uważać
Nie zapomnij przeliczyć stopy rocznej na faktyczny okres. Nie obciążaj podatkiem kapitału. I nie odejmuj procentu VAT od ceny brutto.
∑Wzory 2
Cena brutto to cena netto powiększona o podatek VAT ($v\%$).
Przykład: Netto 200 zł, VAT 23%: brutto $200\cdot1{,}23=246$ zł.
Procent zamieniamy na ułamek i mnożymy przez liczbę.
Przykład: $15\%$ z 240 zł to $0{,}15\cdot240=36$ zł.
🧩Quizy 2
✍Zadania dodatkowe 46
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Wpłacono $1000$ zł na lokatę roczną oprocentowaną $4\%$. Ile wyniosą odsetki przed opodatkowaniem?
Cena netto towaru to $200$ zł, a VAT wynosi $23\%$. Ile wynosi cena brutto?
Od odsetek bank pobiera podatek $19\%$. Odsetki wyniosły $200$ zł. Ile trafi na konto oszczędzającego?
Lokata półroczna z oprocentowaniem $6\%$ w skali roku. Jaki procent kapitału stanowią odsetki po pół roku?
Pensja brutto wynosi $4000$ zł, a podatek $12\%$. Ile wynosi pensja netto (pomijamy inne składki)?
Cena brutto wynosi $123$ zł przy stawce VAT $23\%$. Ile wynosi cena netto?
Sklep sprzedaje książkę za $52{,}50$ zł brutto przy stawce VAT $5\%$. Oblicz cenę netto i kwotę podatku.
Lokata kwartalna oprocentowana $8\%$ w skali roku. Ile wyniosą odsetki od $5000$ zł po jednym kwartale?
Klient wpłacił $3000$ zł na lokatę i po roku otrzymał $3150$ zł (przed opodatkowaniem). Jakie było oprocentowanie?
Od nagrody $1000$ zł pobrano podatek $10\%$. Ile otrzymał zwycięzca?
Bank A oferuje $4\%$ rocznie, bank B — $1{,}2\%$ kwartalnie. Który bank daje więcej po roku od kwoty $10\ 000$ zł? Pomijamy kapitalizację.
Cena paliwa netto to $4$ zł za litr. Doliczana jest akcyza $1{,}50$ zł, a następnie VAT $23\%$ od sumy. Ile kosztuje litr dla kierowcy?
Lokata dwuletnia, $3\%$ rocznie, bez kapitalizacji odsetek. Jaki procent kapitału stanowią łączne odsetki?
Za usługę zapłacono $615$ zł brutto. Stawka VAT to $23\%$. Ile wynosi kwota podatku?
Ile trzeba wpłacić na lokatę roczną $10\%$, aby otrzymać $250$ zł odsetek?
Przedsiębiorca kupił materiały za $1230$ zł brutto (VAT $23\%$) i sprzedał gotowy produkt za $2460$ zł brutto. Oblicz obie kwoty netto i marżę liczoną na wartościach netto.
Ile wynosiło oprocentowanie lokaty rocznej, jeśli po potrąceniu podatku $19\%$ klient otrzymał $81$ zł odsetek od kwoty $2000$ zł?
Oblicz $15\%$ liczby $340$.
Cena kurtki wynosiła $240$ zł i została obniżona o $25\%$. Ile kosztuje kurtka po obniżce?
Liczba $60$ jest o ile procent większa od liczby $48$?
Cenę towaru najpierw podwyższono o $20\%$, a potem obniżono o $20\%$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
- Cena końcowa jest równa cenie początkowej.
- Cena końcowa jest o $4\%$ niższa od ceny początkowej.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
W klasie jest $25$ uczniów, z czego $60\%$ to dziewczynki. Oblicz, ilu chłopców jest w tej klasie.
W sadzie rosną grusze i jabłonie. Liczba grusz jest o $40\%$ większa od liczby jabłoni, a grusz jest o $50$ więcej niż jabłoni. Oblicz, ile jabłoni rośnie w sadzie.
Rower kosztował $1200$ zł. W maju cenę obniżono o $10\%$, a w czerwcu nową cenę obniżono jeszcze o $15\%$. Oblicz cenę roweru po obu obniżkach.
Kasia odłożyła na zakup tabletu $360$ zł, co stanowi $45\%$ jego ceny. Oblicz cenę tabletu oraz kwotę, której jeszcze brakuje.
Sklep kupił $80$ kg jabłek po $2{,}50$ zł za kilogram. Połowę sprzedał po $4$ zł za kilogram, a resztę — po obniżce o $20\%$ tej ceny. Oblicz zysk sklepu.
Ile wynosi $40\%$ z $250$?
Jakim procentem liczby $60$ jest liczba $9$?
Liczba $30$ stanowi $25\%$ pewnej liczby. Jaka to liczba?
Cena $180$ zł wzrosła o $20\%$. Nowa cena to:
Kurtka kosztowała $400$ zł i staniała o $35\%$. Ile kosztuje teraz?
Poparcie dla projektu wzrosło z $32\%$ do $38\%$. O ile punktów procentowych wzrosło?
Bluza po obniżce o $30\%$ kosztuje $91$ zł. Ile kosztowała przed obniżką?
Do banku wpłacono $2000$ zł na lokatę o oprocentowaniu $5\%$ w skali roku. Ile będzie na koncie po roku (pomijamy podatek)?
Ułamek $\frac{3}{8}$ zapisany w procentach to:
W klasie liczącej $25$ osób $60\%$ to dziewczęta. Ilu jest chłopców?
Cena netto towaru to $200$ zł. Ile wynosi cena brutto przy stawce VAT $23\%$?
Pensja $3000$ zł wzrosła najpierw o $10\%$, a potem jeszcze o $10\%$. Ile wynosi po obu podwyżkach?
W sklepie obowiązuje rabat $15\%$, a klient ma dodatkową kartę na $10\%$ zniżki liczonej od ceny już obniżonej. Ile zapłaci za towar za $500$ zł?
Liczba $x$ wzrosła o $50\%$, a potem zmalała o $50\%$. Wynik to:
Cena paliwa wzrosła z $6{,}40$ zł do $7{,}04$ zł za litr. O ile procent wzrosła?
W roztworze o masie $400$ g znajduje się $60$ g soli. Stężenie procentowe wynosi:
Rower kosztował $1200$ zł. W maju staniał o $10\%$, a w lipcu podrożał o $20\%$. Ile kosztuje po tych zmianach i o ile procent różni się od ceny początkowej?
Do $300$ g roztworu o stężeniu $10\%$ dolano $200$ g wody. Jakie jest stężenie nowego roztworu?
Sklep kupuje towar za $80$ zł i sprzedaje z $45\%$ marży doliczanej do ceny zakupu. Ile wynosi cena sprzedaży i ile sklep zarabia na jednej sztuce?
Frekwencja w wyborach wyniosła $54\%$ w pierwszej turze i $61\%$ w drugiej. Podaj zmianę w punktach procentowych oraz zmianę względną w procentach (zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku).
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.