Notacja wykładnicza

$$2^6=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=64$$

Potęgi dwójki warto znać: $2^5=32$, $2^6=64$, $2^7=128$.

Odpowiedź: B. $64$.

$$2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$

Odpowiedź: C. $32$.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki:

$$3^4\cdot3^2=3^{4+2}=3^6=729$$

Odpowiedź: $3^6=729$.

$$3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$$

Odpowiedź: $81$.

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:

$$\frac{5^7}{5^4}=5^{7-4}=5^3=125$$

Odpowiedź: $5^3=125$.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Odpowiedź: B. $a^{m+n}$.

Przy potędze potęgi mnożymy wykładniki:

$$(2^3)^2=2^{3\cdot2}=2^6=64$$

Uwaga: przy potędze potęgi wykładniki mnożymy, a nie dodajemy — to odróżnia od zwykłego mnożenia potęg.

Odpowiedź: C. $64$.

$$2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7$$

Odpowiedź: $2^7$.

Szukamy liczb, których kwadraty dają dane wartości:

$$\sqrt{81}=9 \quad (\text{bo } 9^2=81)$$

$$\sqrt{144}=12 \quad (\text{bo } 12^2=144)$$

Odpowiedź: $9$ oraz $12$.

Przy dzieleniu potęg odejmujemy wykładniki:

$$\frac{5^8}{5^3}=5^{8-3}=5^5$$

Odpowiedź: $5^5$.

W notacji wykładniczej pierwszy czynnik musi mieścić się w przedziale od $1$ do $10$.

Przesuwamy przecinek o $6$ miejsc w lewo:

$$3\,200\,000=3{,}2\cdot10^6$$

Uwaga: $32\cdot10^5$ i $0{,}32\cdot10^7$ mają dobrą wartość, ale zły pierwszy czynnik — nie jest z przedziału $\langle 1,\,10)$.

Odpowiedź: A. $3{,}2\cdot10^6$.

Przy potęgowaniu potęgi mnożymy wykładniki:

$$(a^m)^n=a^{mn}$$

Odpowiedź: A. $a^{mn}$.

Szukamy największego kwadratu ukrytego w $200$:

$$200=100\cdot2$$

$$\sqrt{200}=\sqrt{100}\cdot\sqrt2=10\sqrt2$$

Odpowiedź: $10\sqrt2$.

$$(3^2)^4=3^{2\cdot4}=3^8$$

Odpowiedź: $3^8$.

Odejmujemy wykładniki:

$$2^{10}:2^7=2^{10-7}=2^3=8$$

Sprawdzenie sensu: $2^{10}=1024$, $2^7=128$, a $1024:128=8$ ✔

Odpowiedź: $8$.

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zero daje $1$:

$$a^0=1$$

Odpowiedź: D. $1$.

Iloczyn pierwiastków to pierwiastek iloczynu:

$$\sqrt2\cdot\sqrt8=\sqrt{2\cdot8}=\sqrt{16}=4$$

Ciekawostka: mnożenie dwóch liczb niewymiernych dało liczbę wymierną.

Odpowiedź: D. $4$.

Krok 1 — iloczyn potęg:

$$2^3\cdot2^2=2^5=32$$

Krok 2 — druga potęga: $2^4=16$.

Krok 3 — odejmujemy:

$$32-16=16$$

Odpowiedź: $16$.

Wyrażenia z tym samym pierwiastkiem traktujemy jak wyrazy podobne:

$$(3+2-1)\sqrt5=4\sqrt5$$

Uwaga: $\sqrt5$ ma domyślny współczynnik $1$, więc odejmujemy $1$.

Odpowiedź: $4\sqrt5$.

$$10^6=1\,000\,000$$ — milion (sześć zer).

Odpowiedź: B. milion.

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje $1$:

$$10^0=1$$

Dlaczego: ze wzoru $\frac{10^n}{10^n}=10^{n-n}=10^0$, a jednocześnie $\frac{10^n}{10^n}=1$.

Odpowiedź: B. $1$.

Krok 1 — przesuwamy przecinek tak, by została jedna cyfra przed przecinkiem: $3{,}2$.

Krok 2 — liczymy przesunięcia: $6$ miejsc.

$$3\,200\,000=3{,}2\cdot10^6$$

Odpowiedź: $3{,}2\cdot10^6$.

Kolejność działań: najpierw mnożenie pierwiastków, potem dodawanie.

$$\sqrt9\cdot\sqrt4=3\cdot2=6$$

$$\sqrt{49}+6=7+6=13$$

Odpowiedź: $13$.

Wzór $a^n\cdot b^n=(ab)^n$:

$$2^3\cdot5^3=(2\cdot5)^3=10^3=1000$$

Odpowiedź: $10^3=1000$.

Krok 1 — grupujemy osobno liczby i osobno potęgi:

$$(2\cdot3)\cdot(10^3\cdot10^4)=6\cdot10^{3+4}=6\cdot10^7$$

Krok 2 — wartość liczbowa:

$$6\cdot10^7=60\,000\,000$$

Odpowiedź: $6\cdot10^7=60\,000\,000$.

Parzysty wykładnik daje wynik dodatni:

$$(-2)^4=16$$

Odpowiedź: C. $16$.

Szukamy sąsiednich kwadratów:

$$7^2=49<50<64=8^2$$

Zatem $7<\sqrt{50}<8$, dokładniej $\sqrt{50}\approx7{,}07$.

Odpowiedź: C. $7$ i $8$.

Nieparzysty wykładnik zachowuje znak minus:

$$(-3)^3=-27$$

Odpowiedź: A. $-27$.

Krok 1 — upraszczamy oba pierwiastki:

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$$

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2$$

Krok 2 — odejmujemy (ten sam pierwiastek $\sqrt2$):

$$6\sqrt2-3\sqrt2=3\sqrt2$$

Kluczowe: pierwiastki trzeba najpierw uprościć — dopiero wtedy mają wspólny „czynnik” $\sqrt2$, który pozwala je odjąć.

Odpowiedź: $3\sqrt2$.

Krok 1 — licznik (dodajemy wykładniki):

$$4^5\cdot4^2=4^7$$

Krok 2 — dzielenie (odejmujemy wykładniki):

$$\frac{4^7}{4^4}=4^{7-4}=4^3$$

Krok 3 — obliczamy:

$$4^3=64$$

Odpowiedź: $4^3=64$.

Mnożymy wykładniki:

$$(3^2)^3=3^{2\cdot3}=3^6=729$$

Sprawdzenie: $3^2=9$, a $9^3=729$ ✔

Odpowiedź: A. $729$.

Przesuwamy przecinek o $3$ miejsca w prawo:

$$5{,}4\cdot10^3=5400$$

Odpowiedź: D. $5400$.

Dzielimy masy, grupując osobno liczby i osobno potęgi:

$$\frac{6\cdot10^{24}}{7{,}4\cdot10^{22}}=\frac{6}{7{,}4}\cdot10^{24-22}\approx0{,}81\cdot10^2=81$$

Interpretacja: notacja wykładnicza pozwala łatwo porównywać bardzo duże liczby — odejmujemy tylko wykładniki, zamiast dzielić wielocyfrowe liczby.

Odpowiedź: Ziemia jest około $81$ razy cięższa od Księżyca.

Krok 1 — zapisujemy czynniki jako potęgi dwójki:

$$8=2^3,\qquad 16=2^4$$

Krok 2 — iloczyn potęg (dodajemy wykładniki):

$$2^3\cdot2^4=2^7$$

Sprawdzenie: $8\cdot16=128=2^7$ ✔

Odpowiedź: $2^7$.

Podnosimy do potęgi osobno licznik i mianownik:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$$

Uwaga: wykładnik dotyczy całego ułamka — obu jego części.

Odpowiedź: $\frac{8}{27}$.

Krok 1 — dzielimy masy:

$$\frac{6\cdot10^{24}}{7{,}2\cdot10^{22}}=\frac{6}{7{,}2}\cdot10^{24-22}$$

Krok 2 — liczymy:

$$\approx0{,}83\cdot10^2=83$$

Metoda. W notacji wykładniczej osobno dzielimy liczby, osobno odejmujemy wykładniki potęg $10$.

Odpowiedź: około $83$ razy.

Krok 1 — bok kwadratu:

$$a=\sqrt{50}=5\sqrt2\ \text{cm}$$

Krok 2 — przekątna (wzór $d=a\sqrt2$):

$$d=5\sqrt2\cdot\sqrt2=5\cdot2=10\ \text{cm}$$

Ciekawostka: choć bok jest niewymierny, przekątna wychodzi równa dokładnie $10$ cm — iloczyn $\sqrt2\cdot\sqrt2$ daje $2$.

Odpowiedź: bok $5\sqrt2$ cm, przekątna $10$ cm.

Krok 1 — zamieniamy $9$ na $3^2$:

$$9^3=(3^2)^3=3^6$$

Krok 2 — dzielenie (odejmujemy wykładniki):

$$\frac{3^6}{3^4}=3^{6-4}=3^2=9$$

Odpowiedź: $9$.

Krok 1 — licznik. Mnożenie potęg — dodajemy wykładniki:

$$4^5\cdot4^3=4^{5+3}=4^8$$

Krok 2 — dzielenie przez mianownik — odejmujemy wykładniki:

$$\frac{4^8}{4^6}=4^{8-6}=4^2=16$$

Reguła zbiorcza: $\frac{4^5\cdot4^3}{4^6}=4^{5+3-6}=4^2=16$ — najpierw dodajemy wykładniki z licznika, potem odejmujemy wykładnik mianownika.

Odpowiedź: $16$.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik $2^n$. Zapisujemy $2^{n+2}=2^n\cdot2^2$:

$$2^{n+2}-2^n=2^n\cdot2^2-2^n=2^n(4-1)$$

Krok 2 — upraszczamy:

$$=2^n\cdot3$$

Krok 3 — wniosek. Wyrażenie ma czynnik $3$, więc jest podzielne przez $3$ dla każdego naturalnego $n$. $\quad∎$

Sprawdzenie dla $n=3$: $2^5-2^3=32-8=24=3\cdot8$ ✔