Klasa 7 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Potęga $a^n$ to skrócony zapis mnożenia liczby $a$ przez siebie $n$ razy. Liczbę $a$ nazywamy podstawą, a $n$ — wykładnikiem.
Przy tej samej podstawie:
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{m\cdot n}$$
Przy tym samym wykładniku:
$$a^n\cdot b^n=(ab)^n,\qquad \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$$
$$a^0=1\ (a\ne0),\qquad a^1=a,\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$
Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a nie liczbę ujemną: $2^{-3}=\frac18$.
Bardzo duże i bardzo małe liczby zapisujemy jako $a\cdot10^n$, gdzie $1\le a<10$:
$7\,500\,000=7{,}5\cdot10^6$, $\quad 0{,}00042=4{,}2\cdot10^{-4}$
Wzory na mnożenie i dzielenie działają tylko przy identycznej podstawie — wyrażenia $2^3\cdot3^2$ nie da się zapisać jako jednej potęgi. Nie istnieje też wzór na $a^m+a^n$.
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$
$$a^m:a^n=a^{m-n}$$
$$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$$
$$(ab)^n=a^n b^n,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$
Kluczowy warunek: dwie pierwsze reguły działają tylko dla tej samej podstawy. Podstawa nigdy się nie zmienia — $2^3\cdot2^4=2^7$, a nie $4^7$.
Przy iloczynie wykładniki dodajemy, przy potędze potęgi — mnożymy:
$$2^3\cdot2^2=2^5=32,\qquad \left(2^3\right)^2=2^6=64$$
Te dwa zapisy wyglądają podobnie, a dają różne wyniki.
$$a^0=1 \quad \text{dla } a\neq0$$
Wynika to wprost z reguły dzielenia: $\frac{a^n}{a^n}=a^0$, a przecież liczba podzielona przez samą siebie daje $1$.
Wykładnik parzysty daje wynik dodatni, nieparzysty — ujemny:
$$(-3)^4=81,\qquad (-3)^3=-27$$
Uwaga na nawias: $-3^4$ oznacza $-(3^4)=-81$, a $(-3)^4=81$. Bez nawiasu minus nie wchodzi pod potęgę.
To niemal zawsze pierwszy krok w trudniejszych zadaniach:
$$\frac{9^3\cdot3^2}{27^2}=\frac{\left(3^2\right)^3\cdot3^2}{\left(3^3\right)^2}=\frac{3^8}{3^6}=3^2=9$$
Dopiero po zapisaniu wszystkiego jako potęgi trójki reguły stają się użyteczne.
$$\sqrt[3]{a}=b \iff b^3=a$$
$$\sqrt[3]{27}=3,\qquad \sqrt[3]{64}=4,\qquad \sqrt[3]{125}=5,\qquad \sqrt[3]{1000}=10$$
Istotna różnica względem pierwiastka kwadratowego: pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje, bo trzecia potęga liczby ujemnej jest ujemna:
$$\sqrt[3]{-8}=-2$$
$$\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab},\qquad \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$$
Przykład: $\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}=2\cdot3=6$ oraz $\sqrt[3]{216}=6$ ✔
Objętość sześcianu to $V=a^3$, więc krawędź odzyskujemy pierwiastkiem sześciennym: $a=\sqrt[3]{V}$. Dla $V=1000$ cm³ krawędź wynosi $10$ cm, a pole powierzchni $6\cdot100=600$ cm².
Nie mnóż podstaw przy mnożeniu potęg. Nie myl $-a^n$ z $(-a)^n$. I pamiętaj, że $(2x)^2=4x^2$ — do kwadratu podnosimy również współczynnik.
Co robi: upraszcza wyrażenia z potęgami bez rozpisywania ich na iloczyny.
Elementy: $a$ — podstawa potęgi, $m, n$ — wykładniki. Przy mnożeniu wykładniki dodajemy, przy dzieleniu odejmujemy, przy potędze potęgi mnożymy.
Przykład: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$; $\frac{5^6}{5^4} = 5^2 = 25$; $(3^2)^3 = 3^6 = 729$.
Pułapka: te wzory działają tylko przy identycznej podstawie. $2^3 \cdot 3^2$ nie upraszcza się do jednej potęgi. Uwaga też: $a^m + a^n \ne a^{m+n}$ — dodawanie potęg nie ma takiego wzoru.
Co robi: pozwala upraszczać wyrażenia z potęgami bez wyliczania wielkich liczb.
Elementy: $a$, $b$ to podstawy, $m$, $n$ — wykładniki. Wzór $a^0=1$ obowiązuje dla $a\neq0$.
Kluczowy warunek: dwie pierwsze reguły działają wyłącznie dla tej samej podstawy. Podstawa nigdy się nie zmienia: $2^3\cdot2^4=2^7$, a nie $4^7$.
Przykład złożony: $\frac{9^3\cdot3^2}{27^2}=\frac{3^6\cdot3^2}{3^6}=3^2=9$ — najpierw sprowadzamy wszystko do wspólnej podstawy.
Skąd $a^0=1$: z reguły dzielenia $\frac{a^n}{a^n}=a^0$, a liczba podzielona przez samą siebie daje $1$.
Pułapka: przy iloczynie wykładniki się dodają, przy potędze potęgi mnożą. Zapisy $2^3\cdot2^2=32$ i $\left(2^3\right)^2=64$ wyglądają podobnie, a dają różne wyniki. Uważaj też na nawias: $-3^4=-81$, ale $(-3)^4=81$.
Ile wynosi $2^3\cdot2^4$?
Zapisz w postaci jednej potęgi: $5^8:5^3$.
Oblicz $\sqrt[3]{27}$ oraz $\sqrt[3]{125}$.
Ile wynosi $\sqrt[3]{-8}$?
Zapisz w postaci jednej potęgi: $3^2\cdot3^5\cdot3$.
Ile wynosi $\left(2^3\right)^2$?
Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{2^{10}}{2^{7}}+\sqrt[3]{64}$.
Zapisz w postaci jednej potęgi: $\dfrac{7^{5}\cdot7^{4}}{7^{6}}$.
Ile wynosi $10^0$?
Oblicz objętość sześcianu o krawędzi $4$ cm, a następnie krawędź sześcianu o objętości $216$ cm³.
Ile wynosi $(-3)^4$?
Oblicz $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3$ oraz $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4$.
Zapisz jako potęgę liczby $2$: $8\cdot16$.
Która liczba jest największa?
Oblicz: $\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}$. Porównaj wynik z $\sqrt[3]{8\cdot27}$.
Ile wynosi $\dfrac{6^5}{6^5}$?
Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{9^3\cdot3^2}{27^2}$, sprowadzając wszystko do potęgi liczby $3$.
Sześcian ma objętość $1000$ cm³. Oblicz jego krawędź i pole powierzchni całkowitej.
Uporządkuj rosnąco: $2^{10}$, $10^3$, $4^5$, $3^6$.
Wykaż, że liczba $2^{12}$ jest kwadratem pewnej liczby naturalnej i jednocześnie sześcianem pewnej liczby naturalnej. Podaj obie podstawy.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.